Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
(cos (2 y)-sen x) d x-(2 tan x sen(2 y)) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
(cos(2y)-sin x),dx - 2tan x,sin(2y),dy = 0
O conteúdo é de equações exatas e fator integrante: primeiro vamos checar se ela é exata e, se não for, buscar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=cos(2y)-sin x, N(x,y)=-2tan x,sin(2y)
Calculamos
partial Mpartial y=-2sin(2y), partial Npartial x=-2sec^2 x,sin(2y)
Como
partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x). Usando a fórmula
partial M/partial y - partial N/partial xN= extfunção de x çã
vemos que
-2sin(2y)+2sec^2xsin(2y)-2tan xsin(2y)=-tan x
Logo
mu(x)=expl(integral -tan x,dxr)=expl(ln(cos x)r)=cos x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=cos x:
cos x(cos(2y)-sin x),dx -2cos xtan x,sin(2y),dy=0
Como cos xtan x=sin x, isto fica
M^*(x,y)=cos xcos(2y)-sin xcos x, N^*(x,y)=-2sin xsin(2y)

Passo 5

Agora verificamos a exatidão:
partial M^*partial y=-2cos xsin(2y), partial N^*partial x=-2cos xsin(2y),
logo a equação é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix=M^*. Integramos em relação a x:
phi(x,y)=integrall(cos xcos(2y)-sin xcos xr)dx =sin xcos(2y)-tfrac12sin^2x + h(y)

Passo 7

Para determinar h(y), usamos phiy=N^*:
phiy=-2sin(2y)sin x + h'(y)= -2sin xsin(2y)
Isto implica h'(y)=0, então h(y)=constante.

Passo 8

A solução geral fica dada implicitamente por
phi(x,y)=sin xcos(2y)-tfrac12sin^2x = C

Resposta

sin xcos(2y)-tfrac12sin^2x = C

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