Nos Problemas 11.44 a 11.52 , determine as soluções geraís das equações diferenciais dadas.
y^prime-y=x e^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' - y = x e^2x + 1
Aqui a gente reconhece que está em forma padrão y' + p(x),y = q(x) com p(x) = -1 e q(x) = x e^2x + 1. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral (-1),dx = e^-x
Multiplicamos a equação original por e^-x:
e^-xy' - e^-xy = (x e^2x + 1)e^-x = x e^x + e^-x
No lado esquerdo temos exatamente a derivada do produto e^-xy.

Passo 3

Reconhecemos que
ddxl(e^-xyr) = x e^x + e^-x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^-xy),dx = integral x e^x,dx + integral e^-x,dx

Passo 4

Para calcular as integrais do lado direito:
  1. Integração por partes em integral x e^x,dx:
    • Seja u = x, dv = e^xdx
    • Então du = dx, v = e^x
    integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x = e^x(x-1)
  2. Para integral e^-x,dx é direto:
integral e^-x,dx = -e^-x
Somando, obtemos
integral x e^x,dx + integral e^-x,dx = e^x(x-1) - e^-x + C

Passo 5

Voltando à equação integrada:
e^-xy = e^x(x-1) - e^-x + C
Multiplicando tudo por e^x para isolar y:
y = e^xl[e^x(x-1) - e^-x + Cr] = e^2x(x-1) - 1 + C e^x

Passo 6

Assim chegamos à solução geral da equação:

Passo 7

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