Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor alpha^2 ux x=ut, que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(a) u(0, t)=10 e u(50, t)=40.
(d) ux(0, t)=0 e u(L, t)=T.
(b) ux(0, t)=0 e u(L, t)=0.
(e) ux(0, t)-u(0, t)=0 e u(L, t)=T.
© u(0, t)=30 e u(40, t)=-20.
(f) u(0, t)=T e ux(L, t)+u(L, t)=0

Passo 1

Resumo do problema: a gente quer achar a solução em regime permanente da equação do calor alpha^2 uxx=ut, ou seja, quando u não depende mais de t. Isso transforma a equação numa ODE de segunda ordem com condições de contorno em x.

Passo 2

No estado estacionário, ut=0, logo alpha^2 uxx=0 implica
uxx=0

Passo 3

Integramos duas vezes para achar a forma geral de u(x):
u(x)=A x + B,
e então aplicamos as condições de contorno de cada item para determinar A e B.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno de cada caso:
(a) u(0)=10 B=10. Como u(50)=40, temos Acdot50+10=40 e A=3050=tfrac35.
(b) ux(0)=A=0 e u(L)=B=0, logo u(x)=0.
© u(0)=30 B=30. Como u(40)=-20, temos 40A+30=-20 e A=-tfrac5040=-tfrac54.
(d) ux(0)=A=0 e u(L)=B=T, logo u(x)=T (constante).
(e) ux(0)-u(0)=A-B=0 implica A=B. Como u(L)=A L+B=T, temos A(L+1)=T e A=B=tfracTL+1.
(f) u(0)=B=T e ux(L)+u(L)=A+(A L+B)=0 implica A(L+1)+T=0 e A=-tfracTL+1.

Resposta

(a) u(x)=10+tfrac35x
(b) u(x)=0
© u(x)=30-tfrac54x
(d) u(x)=T
(e) u(x)=tfracTL+1(x+1)
(f) u(x)=-tfracTL+1x+T

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