Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento de uma corda elástica fixa nas extremidades, e precisa encontrar a função que descreve esse movimento para diferentes posições iniciais $ f(x) $. A matéria aqui envolve Equações de Onda e Séries de Fourier. Vamos precisar entender como resolver a equação de onda para condições iniciais específicas usando a decomposição em séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de onda para uma corda fixa nas extremidades é dada por:
$ u(x, t) $ é o deslocamento da corda no ponto $ x $ e tempo $ t $.
$ a $ é a velocidade da onda na corda.
Como $ a = 1 $, a equação simplifica para:
u(x, t)
Passo 3
As condições de contorno são que as extremidades da corda estão fixas, ou seja:
u(0, t) = u(10, t) = 0 para todo t
E a condição inicial de movimento é dada por $ u(x, 0) = f(x) $ e velocidade inicial zero:
u(x, 0) = f(x)
Passo 4
Para resolver a equação de onda com essas condições, usamos a separação de variáveis e representamos $ f(x) $ como uma série de Fourier. A solução geral é:
f(x)
Como a velocidade inicial é zero, $ B_n = 0 $, então: