Considere uma corda elástica de comprimento 10 cujas extremidades são fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial u(x, 0)=f(x), supondo a=1 encontre a função que descreve o movimento da corda em cada um dos casos abaixo:
(a) f(x)=lx5, se, 0 <= x <= 5 10-x5, se, 5 <= x <= 10.
(b) l2 x5, se, 0 <= x <= 52 1, se, 52 <= x <= 152 25(10-x) se , 152
© f(x)=8 x(10-x)^21000

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento de uma corda elástica fixa nas extremidades, e precisa encontrar a função que descreve esse movimento para diferentes posições iniciais $ f(x) $. A matéria aqui envolve Equações de Onda e Séries de Fourier. Vamos precisar entender como resolver a equação de onda para condições iniciais específicas usando a decomposição em séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de onda para uma corda fixa nas extremidades é dada por:
partial^2 upartial t^2 = a^2 partial^2 upartial x^2
Onde:
  • $ u(x, t) $ é o deslocamento da corda no ponto $ x $ e tempo $ t $.
  • $ a $ é a velocidade da onda na corda.
Como $ a = 1 $, a equação simplifica para:
u(x, t)

Passo 3

As condições de contorno são que as extremidades da corda estão fixas, ou seja:
u(0, t) = u(10, t) = 0 para todo t
E a condição inicial de movimento é dada por $ u(x, 0) = f(x) $ e velocidade inicial zero:
u(x, 0) = f(x)

Passo 4

Para resolver a equação de onda com essas condições, usamos a separação de variáveis e representamos $ f(x) $ como uma série de Fourier. A solução geral é:
f(x)
Como a velocidade inicial é zero, $ B_n = 0 $, então:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi t10) + Bn sin(npi t10) ] sin(npi x10)

Passo 5

Os coeficientes $ A_n $ são calculados pela expansão de $ f(x) $ em série de Fourier:
An
Agora, vamos calcular $ A_n $ para cada caso:

Caso (a)

f(x)
Primeiro, observamos que $ f(x) $ é simétrica em relação a $ x = 5 $, facilitando a integração.

Caso (b)

An = 210 integral0^10 f(x) sin(npi x10) dx = 15 integral0^10 f(x) sin(npi x10) dx
Aqui, $ f(x) $ tem três segmentos, então a integral será dividida em três partes.

Caso ©

$ f(x) = \frac{8x(10 - x)^2}{1000} $
Este é um polinômio, o que também facilitará a integração para encontrar $ A_n $.

Passo 6

Vamos exemplificar o cálculo para o caso (a).
An = 15 [ integral0^5 x5 sin(npi x10) dx + integral5^10 10 - x5 sin(npi x10) dx ]
Podemos simplificar:
An = 125 [ integral0^5 x sin(npi x10) dx + integral5^10 (10 - x) sin(npi x10) dx ]
Utilizando integração por partes, resolveremos as integrais. Após resolver, encontramos:
An = 400(-1)^nn^3 pi^3

Passo 7

Substituindo $ A_n $ na solução geral:
An

Resposta

A função que descreve o movimento da corda para o caso (a) é:
u(x, t) = sumn=1^infty 400(-1)^nn^3 pi^3 cos(npi t10) sin(npi x10)

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