1. integral t^2raiz[3]1+t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral t^2raiz[3]1+t^3,dt. O conteúdo principal é integração por substituição, pois vemos uma função composta envolvendo 1+t^3.

Passo 2

Vamos definir a substituição u = 1 + t^3. Então, diferenciando, temos du = 3t^2,dt, o que implica t^2,dt = dfracdu3.
Reescrevendo a integral em função de u, observamos que raiz[3]1+t^3 = u^1/3. Assim,
integral t^2raiz[3]1+t^3,dt = integral 1u^1/3 cdot du3 = 13 integral u^-1/3,du

Passo 3

Agora basta integrar a potência de u:
integral u^-1/3,du = u^2/32/3 = 32,u^2/3

Passo 4

Multiplicando pelo fator 1/3 que ficou fora, obtemos
13cdot 32,u^2/3 = 12,u^2/3

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u = 1 + t^3 e adicionamos a constante de integração, resultando em 12(1+t^3)^2/3 + C.

Resposta

tfrac12(1+t^3)^2/3 + C

Exercícios relacionados