Em cada um dos Problemas abaixo, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais, descreva o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty, e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear autônomo com vetor estado \mathbf{x}(t) em \mathbb{R}^2 e matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
ou seja, \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t). O que nos pedem:
  1. Expressar a solução geral do sistema em termos de funções reais.
  2. Descrever o comportamento das soluções quando t\to\infty.
  3. Fazer o gráfico de algumas trajetórias do sistema (isto é, dar equações paramétricas das trajetórias e indicar como são).
Informações dadas: a matriz A é exatamente a indicada acima. Nada mais é fornecido; a solução deve ser feita a partir dessa matriz.]

Passo 2

Começamos calculando os autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -5\\[4pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculemos:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-5)\cdot 1.
Expandindo,
(2-\lambda)(-2-\lambda)=-4+\lambda^2,
portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-4+5=\lambda^2+1.
Logo os autovalores satisfazem \lambda^2+1=0, ou seja
\lambda=\pm i.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor correspondente a \lambda=i. Resolvemos (A-iI)\mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}2-i & -5\\[4pt]1 & -2-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha obtemos
(2-i)v_1-5v_2=0\quad\Rightarrow\quad v_1=\frac{5}{2-i}\,v_2.
Simplificamos \dfrac{5}{2-i} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 2+i:
\frac{5}{2-i}=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{4+1}=2+i.
Portanto v_1=(2+i)v_2. Tomando v_2=1 escolhemos o autovetor complexo
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2+i\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda=-i o autovetor é o conjugado complexo de \mathbf{v}, isto é
\overline{\mathbf{v}}=\begin{pmatrix}2-i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Assim temos um par de autovalores complexos conjugados \pm i com autovetores conjugados.]

Passo 5

Transformamos as soluções complexas em soluções reais. Se \lambda=\alpha+i\beta e \mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q} (com \mathbf{p},\mathbf{q}\in\mathbb{R}^2), então duas soluções reais fundamentais são
e^{\alpha t}\big(\mathbf{p}\cos(\beta t)-\mathbf{q}\sin(\beta t)\big) \quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\big(\mathbf{p}\sin(\beta t)+\mathbf{q}\cos(\beta t)\big).
No nosso caso \alpha=0 e \beta=1. Escrevemos \mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q}. Para \mathbf{v}=(2+i,\,1)^T temos
\mathbf{p}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{q}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Aplicando a fórmula do passo anterior, obtemos duas soluções reais independentes:
primeira solução
\mathbf{u}_1(t)=\mathbf{p}\cos t-\mathbf{q}\sin t =\begin{pmatrix}2\cos t-\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix},
segunda solução
\mathbf{u}_2(t)=\mathbf{p}\sin t+\mathbf{q}\cos t =\begin{pmatrix}2\sin t+\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 7

Como \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} formam uma base de soluções, a solução geral real do sistema é combinação linear delas:
\mathbf{x}(t)=C_1\mathbf{u}_1(t)+C_2\mathbf{u}_2(t),
ou explicitamente em componentes,
\mathbf{x}(t)= \begin{pmatrix} C_1(2\cos t-\sin t)+C_2(2\sin t+\cos t)\\[6pt] C_1\cos t + C_2\sin t \end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R} determinados pelas condições iniciais. Em forma matricial útil:
\mathbf{x}(t)= \begin{pmatrix} 2\cos t-\sin t & 2\sin t+\cos t\\[4pt] \cos t & \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_1\\[4pt]C_2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Relacionando C_1,C_2 com a condição inicial \mathbf{x}(0)=(x_1(0),x_2(0))^T: avaliando em t=0 temos
\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2C_1+C_2\\[4pt]C_1\end{pmatrix},
portanto
C_1 = x_2(0),\qquad C_2 = x_1(0)-2x_2(0).]

Passo 9

Com os autovalores puramente imaginários ( \pm i) e \alpha=0, as soluções são periódicas (não há fator exponencial de crescimento ou decaimento). Em particular todas as soluções são limitadas para todo t e periódicas de período 2\pi. Isso implica que nenhum modo cresce ou decai: o sistema é centro linear e as órbitas são fechadas.

Passo 10

Vamos mostrar que as trajetórias no plano são elipses (nível sets de uma forma quadrática positiva). Existe uma matriz simétrica S tal que A^T S+S A=0. Resolvendo essa equação encontra-se, por exemplo,
S=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}.
O quadrático Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T S\mathbf{x}=x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2 é conservado ao longo das trajetórias (isto é, Q(\mathbf{x}(t)) é constante), porque
\frac{d}{dt}Q(\mathbf{x}(t))=\mathbf{x}^T(A^TS+SA)\mathbf{x}=0.
Como S é definida positiva (determinante =1>0 e traço =6>0), os conjuntos Q(\mathbf{x})=\text{const} são elipses centradas na origem. Portanto cada órbita (com condição inicial não nula) é uma elipse periódica em torno da origem.]

Passo 11

Exemplos concretos de trajetórias (para plotar, tomar t no intervalo [0,2\pi]):
  • Para a condição inicial \mathbf{x}(0)=(1,0): temos C_1=0,\\ C_2=1 e
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}2\sin t+\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}.
  • Para a condição inicial \mathbf{x}(0)=(0,1): temos C_1=1,\\ C_2=-2 e
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}-5\sin t\\[4pt]\cos t-2\sin t\end{pmatrix}.
  • Para a condição inicial \mathbf{x}(0)=(2,1): temos C_1=1,\\ C_2=0 e
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}2\cos t-\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}.
Instrução de plot: para cada condição inicial, gerar os pares (x_1(t),x_2(t)) variando t de 0 a 2\pi. Cada curva será uma elipse fechada centrada na origem; repetindo para vários multiplicadores das condições iniciais obtém-se elipses semelhantes com tamanhos diferentes.]

Passo 12

Sobre a orientação (sentido) das trajetórias: a direção concreta em que a curva é percorrida é dada por \mathbf{x}'(0)=A\mathbf{x}(0). Por exemplo, para \mathbf{x}(0)=(1,0) temos \mathbf{x}'(0)=(2,1), ou seja, a partícula se move inicialmente para o primeiro quadrante. Em todos os casos o movimento é periódico com período 2\pi.

Resposta

Solução geral real:
\mathbf{x}(t)=C_1\begin{pmatrix}2\cos t-\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}2\sin t+\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}, \qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}.
Comportamento quando t\to\infty: todas as soluções são limitadas e periódicas (periodo 2\pi); o sistema é um centro linear (nenhuma solução não-nula tende ao infinito nem ao zero). Trajetórias: são elipses centradas na origem, dadas pelos níveis da forma quadrática conservada
Q(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2=\text{const},
por exemplo, para \mathbf{x}(0)=(1,0):
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}2\sin t+\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},
para \mathbf{x}(0)=(0,1):
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}-5\sin t\\[4pt]\cos t-2\sin t\end{pmatrix},
e para \mathbf{x}(0)=(2,1):
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}2\cos t-\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}.]

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