Em cada um dos Problemas abaixo, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais, descreva o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty, e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear autônomo com vetor estado \mathbf{x}(t) em \mathbb{R}^2 e matriz de coeficientes
Assim temos um par de autovalores complexos conjugados \pm i com autovetores conjugados.]
Passo 5
Transformamos as soluções complexas em soluções reais. Se \lambda=\alpha+i\beta e \mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q} (com \mathbf{p},\mathbf{q}\in\mathbb{R}^2), então duas soluções reais fundamentais são
Com os autovalores puramente imaginários (\pm i) e \alpha=0, as soluções são periódicas (não há fator exponencial de crescimento ou decaimento). Em particular todas as soluções são limitadas para todo t e periódicas de período 2\pi. Isso implica que nenhum modo cresce ou decai: o sistema é centro linear e as órbitas são fechadas.
Passo 10
Vamos mostrar que as trajetórias no plano são elipses (nível sets de uma forma quadrática positiva). Existe uma matriz simétrica S tal que A^T S+S A=0. Resolvendo essa equação encontra-se, por exemplo,
O quadrático Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T S\mathbf{x}=x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2 é conservado ao longo das trajetórias (isto é, Q(\mathbf{x}(t)) é constante), porque
Como S é definida positiva (determinante =1>0 e traço =6>0), os conjuntos Q(\mathbf{x})=\text{const} são elipses centradas na origem. Portanto cada órbita (com condição inicial não nula) é uma elipse periódica em torno da origem.]
Passo 11
Exemplos concretos de trajetórias (para plotar, tomar t no intervalo [0,2\pi]):
Para a condição inicial \mathbf{x}(0)=(1,0): temos C_1=0,\\ C_2=1 e
Instrução de plot: para cada condição inicial, gerar os pares (x_1(t),x_2(t)) variando t de 0 a 2\pi. Cada curva será uma elipse fechada centrada na origem; repetindo para vários multiplicadores das condições iniciais obtém-se elipses semelhantes com tamanhos diferentes.]
Passo 12
Sobre a orientação (sentido) das trajetórias: a direção concreta em que a curva é percorrida é dada por \mathbf{x}'(0)=A\mathbf{x}(0). Por exemplo, para \mathbf{x}(0)=(1,0) temos \mathbf{x}'(0)=(2,1), ou seja, a partícula se move inicialmente para o primeiro quadrante. Em todos os casos o movimento é periódico com período 2\pi.
Comportamento quando t\to\infty: todas as soluções são limitadas e periódicas (periodo 2\pi); o sistema é um centro linear (nenhuma solução não-nula tende ao infinito nem ao zero). Trajetórias: são elipses centradas na origem, dadas pelos níveis da forma quadrática conservada