No problema abaixo, a matriz de coeficientes contém um parâmetro a.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr} 0 & -5 \\\\ 1 & \alpha \end{array}\right) \mathbf{x}
a) Determine os autovalores em função de \alpha.
b) Encontre o valor ou valores de bifurcação de \alpha em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.
c) Desenhe retratos de fase para um valor de \alpha ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor de bifurcação.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro \alpha
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt] 1 & \alpha\end{pmatrix}\mathbf{x}.
As perguntas são:
a) Determinar os autovalores em função de \alpha.
b) Achar os valores de \alpha em que a natureza qualitativa do retrato de fase muda (valores de bifurcação).
c) Para cada valor de bifurcação, desenhar (descrever) o retrato de fase para um \alpha ligeiramente menor e para um \alpha ligeiramente maior que esse valor.
As informações relevantes que temos são somente a matriz de coeficientes com o parâmetro \alpha. Não há nenhuma informação adicional oculta.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico e os autovalores. Seja A=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt] 1 & \alpha\end{pmatrix}. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & -5\\[4pt] 1 & \alpha-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante passo a passo:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(\alpha-\lambda)-(-5)(1)=\lambda^2-\alpha\lambda+5.
Portanto os autovalores \lambda são as raízes da equação quadrática
\lambda^2-\alpha\lambda+5=0.
Aplicando a fórmula quadrática (aqui cada termo está em TeX):
\lambda=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-20}}{2}.
Isso responde a parte (a): os autovalores são \displaystyle \lambda=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-20}}{2}.]

Passo 3

Agora interpretamos essas fórmulas para classificar o sistema. É útil calcular traço e determinante:
\text{traço } \tau=\operatorname{tr}(A)=\alpha,\qquad \det(A)=5.ç
Duas observações importantes (estas são ferramentas padrão para classificar sistemas lineares 2×2):
  • O sinal do determinante diz se é possível ter sela: se \det(A)<0 haveria sela; aqui \det(A)=5>0, então nunca teremos sela.
  • O discriminante do polinômio \Delta_{\text{disc}}=\alpha^2-20 determina se os autovalores são reais distintos ( \Delta_{\text{disc}}>0), repetidos ( \Delta_{\text{disc}=0}) ou complexos conjugados ( \Delta_{\text{disc}}<0).

Passo 4

Achemos os pontos onde a natureza qualitativa muda, ou seja, valores de \alpha onde o sistema deixa de ser hiperbólico (autovalores com parte real não nula e distintos) ou onde ocorre mudança de tipo:
  • Repetição de autovalores (discriminante zero) quando
\alpha^2-20=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=\pm 2\sqrt{5}.
  • As partes reais dos autovalores mudam de sinal quando a traço \tau=\alpha muda de sinal; em particular \alpha=0 é um caso especial: para \alpha=0 os autovalores são puramente imaginários (pois \lambda^2+5=0), dando um centro linear (neutro, não hiperbólico).
Logo os candidatos a valores de bifurcação são
\alpha=-2\sqrt{5},\quad \alpha=0,\quad \alpha=2\sqrt{5}.
Explico por que cada um é significativo:
  • Em \alpha=\pm 2\sqrt{5} passamos de autovalores complexos para reais (ou vice‑versa) — isto muda espiral ⇄ nó; além disso as multiplicidades repetidas geram casos degenerados (nó degenerado/impróprio).
  • Em \alpha=0 a parte real dos autovalores complexos passa por zero: para |\alpha|<2\sqrt{5} temos autovalores complexos com parte real \alpha/2; assim quando \alpha muda de negativo para positivo, o sistema muda de espiral estável (atrator) para espiral instável (repulsor), cruzando por um centro neutro em \alpha=0.

Passo 5

Classificação detalhada dos regimes (útil para desenhar os retratos):
  • Se |\alpha|<2\sqrt{5} (ou seja \alpha^2<20) então \alpha^2-20<0 e os autovalores são complexos conjugados
\lambda=\frac{\alpha}{2}\pm i\frac{\sqrt{20-\alpha^2}}{2}.
A parte real é \alpha/2:
  • Se \alpha<0 temos \operatorname{Re}\lambda<0 ⇒ espiral estável (espiral que converge ao origem).
  • Se \alpha=0 temos autovalores puramente imaginários \pm i\sqrt{5} ⇒ centro (órbitas fechadas, movimento oscilatório linear).
  • Se \alpha>0 temos \operatorname{Re}\lambda>0 ⇒ espiral instável (explode do origem).
  • Se |\alpha|>2\sqrt{5} então \alpha^2-20>0 e os autovalores são reais distintos com soma \alpha e produto 5. Como \det(A)=5>0, os dois autovalores têm o mesmo sinal:
    • Se \alpha>2\sqrt{5} ambos positivos ⇒ nó instável (origem fonte).
    • Se \alpha<-2\sqrt{5} ambos negativos ⇒ nó estável (origem sumidouro).
  • Em \alpha=\pm 2\sqrt{5} temos autovalor duplo \lambda=\alpha/2=\pm\sqrt{5}. Cálculo rápido mostra que a multiplicidade geométrica é 1 (a matriz A-\lambda I tem posto 1), isto é, o autovalor duplo é degenerado e temos um nó degenerado (impróprio): trajetórias aproximam-se/afastam-se tangentes a uma única direção e geralmente comtrajectórias em forma de “parabólica” no redor (não um nó estrela com duas direções independentes).

Passo 6

Observação sobre a orientação das órbitas (útil para desenhar): para \alpha=0\) o sistema é \[\begin{cases} x_1'=-5x_2,\\[4pt] x_2'=x_1, \end{cases}
que é um oscilador harmônico com equação x_1''=-5x_1\]. Tomando a condição inicial \((x_1,x_2)=(1,0) temos (x_1',x_2')=(0,1), ou seja, a trajetória aponta para cima no eixo x_2 — isso mostra que a rotação no plano é no sentido anti‑horário. Para valores pequenos de \alpha essa orientação (anti‑horária) se mantém; portanto as espirais giram no sentido anti‑horário.]

Passo 7

Agora descrevo os retratos pedidos em (c). Para cada valor de bifurcação vou dar dois valores concretos, um ligeiramente menor e um ligeiramente maior, e descrever qualitativamente o retrato (isso serve como “desenho” verbal que você pode reproduzir na prova):
  1. Bifurcação em \alpha=0.
  • Escolha \alpha=-0,5 (ligeiramente menor que 0, e |\alpha|<2\sqrt{5}): autovalores complexos com \operatorname{Re}\lambda<0 ⇒ espiral estável (sink). Trajetórias espiralam para a origem no sentido anti‑horário.
  • Escolha \alpha=+0,5 (ligeiramente maior que 0): autovalores complexos com \operatorname{Re}\lambda>0 ⇒ espiral instável (source). Trajetórias espiralam para fora no sentido anti‑horário.
  1. Bifurcação em \alpha=2\sqrt{5} (aprox. 4{,}4721).
  • Escolha \alpha=4{,}4 (ligeiramente menor que 2\sqrt{5}): aqui |\alpha|<2\sqrt{5} e \alpha>0 ⇒ autovalores complexos com \operatorname{Re}\lambda>0 ⇒ espiral instável (explosão em espiral, anti‑horário).
  • Escolha \alpha=4{,}6 (ligeiramente maior que 2\sqrt{5}): agora |\alpha|>2\sqrt{5} e \alpha>0 ⇒ autovalores reais distintos e positivos ⇒ nó instável (fonte). Trajetórias saem da origem aproximando‑se assintoticamente às direções das autovetores; para tempos grandes a solução se alinha com o autovetor correspondente ao maior autovalor (modo dominante), então as curvas saem mais “direcionadas” ao longo dessa direção.
  1. Bifurcação em \alpha=-2\sqrt{5} (aprox. -4{,}4721).
  • Escolha \alpha=-4{,}4 (ligeiramente maior que -2\sqrt{5}, ou seja menos negativo): então |\alpha|<2\sqrt{5} e \alpha<0 ⇒ autovalores complexos com \operatorname{Re}\lambda<0 ⇒ espiral estável (sink), movimento anti‑horário, convergente.
  • Escolha \alpha=-4{,}6 (ligeiramente menor que -2\sqrt{5}, mais negativo): agora |\alpha|>2\sqrt{5} e \alpha<0 ⇒ autovalores reais distintos e negativos ⇒ nó estável (sink). Trajetórias convergem para a origem e, para tempos grandes, aproximam‑se à direção do autovetor do autovalor com módulo menor (o modo lento), atravessando com um comportamento não oscilatório.

Passo 8

Dicas práticas para desenhar rápido na prova:
  • Calcule traço \tau=\alpha e determinante 5. Se \det<0 era sela (não acontece aqui). Se \det>0 e \tau=0 com \Delta_{\text{disc}}<0 você tem um centro.
  • Use a condição \alpha^2-20 para saber se é espiral ( <0) ou nó ( >0).
  • Use o sinal de \alpha (traço) para saber se é estável ( \alpha<0) ou instável ( \alpha>0).
  • Lembre que quando \alpha=\pm 2\sqrt{5} o nó é degenerado (apenas uma direção de autovetor), então desenhe trajetórias que se aproximam/afastam com geometria de nó impróprio.

Resposta

a) \displaystyle \lambda=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-20}}{2}.
b) Valores de bifurcação: \displaystyle \alpha=-2\sqrt{5},\; \alpha=0,\; \alpha=2\sqrt{5}.
c) Retratos (descrições):
  • Para \alpha ligeiramente menor que 0 (ex.: \alpha=-0{,}5): espiral estável (sink), movimento anti‑horário.
  • Para \alpha ligeiramente maior que 0 (ex.: \alpha=+0{,}5): espiral instável (source), movimento anti‑horário.
  • Para \alpha ligeiramente menor que 2\sqrt{5} (ex.: \alpha=4{,}4): espiral instável (source), anti‑horário.
  • Para \alpha ligeiramente maior que 2\sqrt{5} (ex.: \alpha=4{,}6): nó instável (fonte) com duas direções reais próprias; trajetórias saem e alinham‑se ao autovetor do modo dominante.
  • Para \alpha ligeiramente maior que -2\sqrt{5} (ex.: \alpha=-4{,}4): espiral estável (sink), anti‑horário.
  • Para \alpha ligeiramente menor que -2\sqrt{5} (ex.: \alpha=-4{,}6): nó estável (sumidouro) com duas direções reais próprias; trajetórias convergem e alinham‑se ao modo lento.

Exercícios relacionados