Em cada um dos problemas abaixo, resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
A equação envolve
em função de
e um parâmetro
. Temos uma ODE de primeira ordem que é separável:
Passo 2
Primeiro, isolamos
:
Passo 3
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e
do outro:
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados:
Passo 5
Para continuar, fatoramos o 2 no denominador:
Passo 6
Reconhecemos a integral padrão
quando
Passo 7
Simplificando o fator
,
Passo 8
Finalmente, isolamos
invertendo a
:
Passo 9
Observação: se
aparece
em vez de
, e para
a equação vira
dando
.
Resposta
x(t) = \sqrt{\tfrac{2}{y}};\tanh\Bigl(\sqrt{2y},(t + C)\Bigr)