Em cada um dos problemas abaixo, resolva a equação diferencial dada.
d xd t+x^2 y=2

Passo 1

A equação envolve x em função de t e um parâmetro y. Temos uma ODE de primeira ordem que é separável:

Passo 2

Primeiro, isolamos dx/dt:
dxdt = 2 - y,x^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com x de um lado e t do outro:
dx2 - y,x^2 = dt

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados:
integral dx2 - y,x^2 = integral dt

Passo 5

Para continuar, fatoramos o 2 no denominador:
integral dx2l(1 - tfracy2x^2r) = integral dt ou seja
12integral dx1 - (raiztfracy2,x)^2 = t + C

Passo 6

Reconhecemos a integral padrão
integral du1 - u^2 = arctanh(u)
quando u^2<1. Definindo u = raiztfracy2,x, temos:
12cdot 1raiztfracy2,arctanhl(raiztfracy2,xr) = t + C

Passo 7

Simplificando o fator 1/(2raizy/2) = 1/raiz2y,
1raiz2y,arctanhl(xraiztfracy2r) = t + C

Passo 8

Finalmente, isolamos x invertendo a arctanh:
x(t) = raiz2y;tanhl(raiz2y,(t + C)r)

Passo 9

Observação: se y<0 aparece arctan em vez de arctanh, e para y=0 a equação vira dx/dt=2 dando x=2t+C.

Resposta

x(t) = \sqrt{\tfrac{2}{y}};\tanh\Bigl(\sqrt{2y},(t + C)\Bigr)

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