Em cada uma dos problemas abaixo, resolva o problema de valor inicial dado.
d yd x=(1-x^2)y, y(1)=-2

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem separável dydx=1-x^2y, usando condição inicial y(1)=-2. O conteúdo principal é separação de variáveis e integração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, fazemos a separação de variáveis. Multiplicamos ambos os lados por y e por dx:
y,dy = (1 - x^2),dx
Em seguida, integramos os dois lados: à esquerda integral y,dy = tfracy^22 e à direita integral(1 - x^2),dx = x - tfracx^33 + C. Logo, obtemos a solução geral:
y^22 = x - x^33 + C

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial y(1)=-2. Substituindo x=1 e y=-2 em tfracy^22 = x - tfracx^33 + C, temos:
(-2)^22 = 1 - 1^33 + C
2 = 1 - 13 + C = 23 + C
C = 2 - 23 = 43
Substituindo C de volta e multiplicando por 2, obtemos:
y^2 = 2x - 2x^33 + 83 = -2x^3 + 6x + 83

Passo 4

Por fim, escolhemos o sinal de y de acordo com y(1)=-2. Como a raiz quadrada daria pm2 em x=1, adotamos o sinal negativo. Assim a solução particular fica:
y(x) = -raiz-2x^3 + 6x + 83

Resposta

y(x) = -\sqrt{\frac{-2x^3 + 6x + 8}{3}}

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