Em cada uma dos problemas abaixo, resolva o problema de valor inicial dado.
d yd x=(1-x^2) y^2, y(0)=16

Passo 1

Enunciado: temos uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial, do tipo separável. A equação é dydx=(1-x^2)y^2 e a condição inicial é y(0)=tfrac16.

Passo 2

Reconhecemos que a EDO é de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis y e x:
1y^2,dy=(1-x^2),dx

Passo 3

Integrar ambos os lados. No lado de y: integral y^-2dy=-tfrac1y. No lado de x: integral(1-x^2)dx = x-tfracx^33+C. Assim:
-1y=x-x^33+C

Passo 4

Determinar a constante de integração C usando y(0)=tfrac16. Substituindo x=0 e y=1/6:
-11/6=C Rightarrow -6=C

Passo 5

Substituir C=-6 na solução geral e isolar y:
-1y=x-x^33-6
Multiplicando por -1) e invertendo:
1y=6 - x + x^33
Logo,
y(x)=16 - x + tfracx^33=3x^3-3x+18

Resposta

y(x)=dfrac3x^3-3x+18

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