sumn=1^+infty n!3 times 5 times cdots times(2 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumn=1^inftyn!3times5timescdotstimes(2n+1). O conteúdo envolve manipular fatoriais e usar representação integral (fórmula de Beta) para somar a série.

Passo 2

Observamos que o produto do denominador pode ser escrito em termos de duplo fatorial: 3times5timescdotstimes(2n+1)=(2n+1)!!. Como existe a relação (2n+1)!!=(2n+1)!2^n,n!, temos
n!3times5timescdotstimes(2n+1)=n!(2n+1)!!=n!,2^n,n!(2n+1)!=2^n(n!)^2(2n+1)!

Passo 3

Usamos a identidade de Beta (ou integral de Euler):
integral0^1t^n(1-t)^n,dt=n!,n!(2n+1)!

Passo 4

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2^n(n!)^2(2n+1)!=2^nintegral0^1t^n(1-t)^n,dt=integral0^1[2t(1-t)]^n,dt

Passo 5

Podemos então trocar soma e integral por convergência uniforme:
S=sumn=1^inftyintegral0^1[2t(1-t)]^n,dt=integral0^1sumn=1^infty[2t(1-t)]^n,dt

Passo 6

Como sumn=1^infty r^n=r1-r, o integral vira
S=integral0^12t(1-t)1-2t(1-t),dt=integral0^1l(11-2t+2t^2-1r)dt

Passo 7

Calculamos
integral0^1dt1-2t+2t^2=12integral-1/2^1/2duu^2+(1/2)^2=12cdot2l[arctan u1/2r]-1/2^1/2=pi2, e subtraímos integral0^1 1,dt=1. Portanto
S=pi2-1

Resposta

pi2-1

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