Em cada um dos problemas abaixo, resolva a equação diferencial dada.
d xd t-x y=sen(t)

Passo 1

Nesse exercício queremos resolver a equação diferencial de primeira ordem linear em x(t)
dxdt - y,x = sin(t)
onde y é um parâmetro constante. Isso cai na forma padrão
dxdt + P(t)x = Q(t)
com P(t) = -y e Q(t) = sin(t). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral (-y),dt = e^-y,t
Multiplicando ambos os lados da equação original por mu(t) obtemos
e^-y tdxdt - y,e^-y tx = e^-y tsin(t)
O lado esquerdo é a derivada do produto x,e^-y t, ou seja,
ddtl(x,e^-y tr) = e^-y tsin(t)

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(x,e^-y tr),dt = integral e^-y tsin(t),dt
Isso nos dá
x,e^-y t = integral e^-y tsin(t),dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para calcular a integral integral e^-y tsin(t),dt, usamos a fórmula padrão
integral e^a tsin(b t),dt = e^a tasin(b t) - bcos(b t)a^2 + b^2 + const
Aqui a = -y e b = 1, logo
integral e^-y tsin(t),dt = e^-y t(-y)sin(t) - 1cos(t)y^2 + 1 + C'

Passo 5

Voltando à expressão para x(t) e absorvendo constantes em C, temos
x,e^-y t = e^-y tl(-ysin(t) - cos(t)r)y^2 + 1 + C
Multiplicando por e^y t e isolando x, obtemos a solução geral

Passo 6

x(t) = -y,sin(t) - cos(t)y^2 + 1 + C,e^y t

Resposta

x(t) = \frac{-y,\sin(t) - \cos(t)}{y^2 + 1} + C,e^{y t}

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