Em cada um dos problemas abaixo, resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Nesse exercício queremos resolver a equação diferencial de primeira ordem linear em x(t)
onde y é um parâmetro constante. Isso cai na forma padrão
com
e
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
O fator integrante
é dado por
Multiplicando ambos os lados da equação original por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja,
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para calcular a integral
, usamos a fórmula padrão
Aqui
e
, logo
Passo 5
Voltando à expressão para
e absorvendo constantes em
, temos
Multiplicando por
e isolando
, obtemos a solução geral
Passo 6
Resposta
x(t) = \frac{-y,\sin(t) - \cos(t)}{y^2 + 1} + C,e^{y t}