Em cada um dos problemas defina phi0(t)=0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.
(a) y^prime=2(y+1), y(0)=0
(b) y^prime=-(y+1), y(0)=0
© y^prime=-y2+t, y(0)=0
(i) Determine phin(t) para um valor arbitrário de n.
(ii) Faça o gráfico de phin(t) com n=1,2,3

Passo 1

Estamos resolvendo três EDOs de primeira ordem com valor inicial, usando o método de aproximações sucessivas (Picard), definindo φ₀(t)=0 e gerando φₙ₊₁(t)=y(0)+∫₀ᵗ f(s,φₙ(s)) ds.
A fórmula geral de Picard para o problema y′=f(t,y), y(0)=y₀ é
φn+1(t)=y₀+integral0^tfl(s,φn(s)r),ds

Passo 2

(a) Para y′=2(y+1), y(0)=0 temos φ₁(t)=∫₀ᵗ2(0+1)ds=2t, φ₂(t)=∫₀ᵗ2(2s+1)ds=2t+2t², φ₃(t)=2t+2t²+\tfrac{4}{3}t³. Observando a série de Taylor de e^{2t}−1, concluímos
φn(t)=sumk=1^n(2t)^kk!

Passo 3

(b) Para y′=−(y+1), y(0)=0 obtemos φ₁(t)=−t, φ₂(t)=−t+\tfrac{t²}{2}, φ₃(t)=−t+\tfrac{t²}{2}−\tfrac{t³}{6}. Vemos a série de e^{−t}−1 e temos
φn(t)=sumk=1^n(-1)^kt^kk!

Passo 4

© Para y′=−\tfrac{y}{2}+t, y(0)=0 achamos φ₁(t)=\tfrac{t²}{2}, φ₂(t)=\tfrac{t²}{2}−\tfrac{t³}{12}, φ₃(t)=\tfrac{t²}{2}−\tfrac{t³}{12}+\tfrac{t⁴}{96}. Por recorrência surge
φn(t)=sumk=1^n(-1)^k-1t^k+12^,k-1(k+1)!

Passo 5

Para n=1,2,3 os polinômios φ_n(t) em cada caso são os que calculamos acima e podem ser plotados diretamente como aproximações polinomiais das soluções exatas.

Resposta

(a) φ_n(t)=∑_{k=1}^n (2t)^k/k!, com φ₁=2t, φ₂=2t+2t², φ₃=2t+2t²+4/3 t³
(b) φ_n(t)=∑_{k=1}^n (−1)^k t^k/k!, com φ₁=−t, φ₂=−t+ t²/2, φ₃=−t+ t²/2− t³/6
© φ_n(t)=∑_{k=1}^n (−1)^{k−1} t{k+1}/(2{k−1}(k+1)!), com φ₁=t²/2, φ₂=t²/2− t³/12, φ₃=t²/2− t³/12+ t⁴/96

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