Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas, y=x^2, y=4, x >= 0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do primeiro quadrante limitada por y=x^2, y=4 e y=0. O conteúdo envolve volume de revolução e, como a rotação é em torno do eixo y e a região é fácil de descrever em tiras verticais, vamos usar o método de cascas cilíndricas.

Passo 2

Para o método de cascas, consideramos uma tira vertical em x com largura dx. Ao girar, isso gera uma casca de raio r=x e altura h=ytop-ybot=4 - x^2. O volume dessa casca é
dV = 2pi,r,h,dx = 2pi,x,(4 - x^2),dx
Como a região vai de x=0 até o ponto onde y=x^2=4, ou seja x=2, o volume total é
V = integral0^2 2pi,x,(4 - x^2),dx

Passo 3

Vamos calcular a integral:
V = 2pi integral0^2 (4x - x^3),dx = 2pi l[2x^2 - tfracx^44r]0^2 = 2pi l(2cdot2^2 - tfrac2^44r) = 2pi (8 - 4) = 8pi

Resposta

8pi

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