Nas seguintes equações encontre um fator integrante e resolva a equação.

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial de primeira ordem
y,dx + l(2xy - e^-2yr),dy = 0,
do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. O conteúdo é exatidão e fator integrante. Vamos precisar verificar se é exata (calculando partial M/partial y e partial N/partial x) e, se não for, achar um fator integrante que dependa só de y ou só de x.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=y e N(x,y)=2xy - e^-2y. Calculamos
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=2y
Como 1neq 2y, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(y). A condição para mu(y) é
partial N/partial x - partial M/partial yM = 2y - 1y = 2 - 1y,
que depende só de y. Então
dlnmudy = 2 - 1y

Passo 4

Integramos para encontrar mu(y):
lnmu = integrall(2 - 1yr)dy = 2y - ln|y| + C
Portanto podemos tomar
mu(y)=e^2yy

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(y). Isso gera
M^*=e^2y, N^*=2x e^2y-1y
Verificamos:
partial M^*partial y=2e^2y, partial N^*partial x=2e^2y,
logo a equação é exata.

Passo 6

Procuramos a função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x=e^2y
Integrando em relação a x:
psi(x,y)=x e^2y+h(y)
Derivando em y:
partialpsipartial y=2x e^2y+h'(y)=2x e^2y-1y,
daí
h'(y)=-1yRightarrow h(y)=-ln|y|

Passo 7

A solução implícita final vem de psi(x,y)=C:
x e^2y-ln|y|=C

Resposta

x e^2y - ln|y| = C

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