Em cada um dos Problemas de 1 a 8 determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^(6)+y^prime prime prime=t

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de 6ª ordem com coeficientes constantes
y^(6) + y^(3) = t
Para isso vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a particular.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea é
y^(6) + y^(3) = 0
e sua equação característica é
r^6 + r^3 = 0 ,
Vamos fatorar e achar as raízes.

Passo 3

Fatorando temos
r^3(r^3 + 1) = 0
Logo as raízes são
r = 0 (mu
r^3 = -1 implies r = -1,; r = tfrac12 pm itfracraiz32
Isto dá a solução homogênea
yh = C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 e^-t + e^t/2l(C5cos(tfracraiz32t) + C6sin(tfracraiz32t)r)

Passo 4

Para a solução particular, o termo à direita é um polinômio de grau 1 em t. Como r=0 é raiz de multiplicidade 3, multiplicamos o ansatz polinomial por t^3. Assim tentamos
yp = A t^4 + B t^3

Passo 5

Calculamos as derivadas relevantes:
yp^(3) = 24A t + 6B, yp^(6) = 0
Substituindo em y^(6) + y^(3) = t resulta
0 + (24A t + 6B) = t
Logo
24A = 1 implies A = tfrac124, 6B = 0 implies B = 0
Portanto yp = tfrac124t^4.

Passo 6

Juntando homogênea e particular, a solução geral é
y(t) = C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 e^-t + e^t/2l(C5cos(tfracraiz32t) + C6sin(tfracraiz32t)r) + t^424

Resposta

y(t) = C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t} + e^{t/2}\bigl(C_5\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t) + C_6\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr) + \frac{t^4}{24}.

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