Em cada um dos Problemas de 1 a 8 determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de 6ª ordem com coeficientes constantes
Para isso vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a particular.
Passo 2
Primeiro a parte homogênea é
e sua equação característica é
Vamos fatorar e achar as raízes.
Passo 3
Fatorando temos
Logo as raízes são
Isto dá a solução homogênea
Passo 4
Para a solução particular, o termo à direita é um polinômio de grau 1 em
. Como
é raiz de multiplicidade 3, multiplicamos o ansatz polinomial por
. Assim tentamos
Passo 5
Calculamos as derivadas relevantes:
Substituindo em
resulta
Logo
Portanto
.
Passo 6
Juntando homogênea e particular, a solução geral é
Resposta
y(t) = C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t} + e^{t/2}\bigl(C_5\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t) + C_6\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr) + \frac{t^4}{24}.