Resolva as seguintes equações:
raiz3 x+1=2+raizx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação raiz3x + 1 = 2 + raizx + 1. Esse tipo de equação envolve radicais, que são aquelas raízes quadradas. Para resolver, a gente vai precisar isolar as raízes e depois eliminar os radicais, geralmente elevando ambos os lados ao quadrado. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar uma das raízes. Já está quase isolada, então vamos reorganizar a equação para facilitar:
raiz3x + 1 - raizx + 1 = 2
Assim, temos as duas raízes de um lado e o número do outro.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os radicais. Para isso, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Lembre-se que (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Então:
(raiz3x + 1 - raizx + 1)^2 = 2^2
3x + 1 - 2raiz(3x + 1)(x + 1) + x + 1 = 4

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
4x + 2 - 2raiz(3x + 1)(x + 1) = 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
4x + 2 - 4 = 2raiz(3x + 1)(x + 1)
4x - 2 = 2raiz(3x + 1)(x + 1)

Passo 5

Agora, vamos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
2x - 1 = raiz(3x + 1)(x + 1)
Novamente, vamos eliminar o radical elevando ambos os lados ao quadrado:
(2x - 1)^2 = (3x + 1)(x + 1)
4x^2 - 4x + 1 = 3x^2 + 4x + 1

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para resolver:
4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 - 4x - 1 = 0
x^2 - 8x = 0
Fatorando:
x(x - 8) = 0

Passo 7

As soluções são:
x = 0 ou x = 8
Mas precisamos verificar se ambas são válidas na equação original.

Passo 8

Vamos testar x = 0:
raiz3(0) + 1 = 2 + raiz0 + 1
raiz1 = 2 + raiz1
1 = 2 + 1 Rightarrow 1 = 3 (Falso)
Então, x = 0 não é uma solução válida.

Passo 9

Agora, testando x = 8:
raiz3(8) + 1 = 2 + raiz8 + 1
raiz25 = 2 + raiz9
5 = 2 + 3 Rightarrow 5 = 5 (Verdadeiro)
Portanto, x = 8 é a solução válida.

Resposta

A solução da equação é x = 8.

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