Determine a transformada de Laplace de
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Passo 1
O enunciado define uma função por partes: f(t)=0 para 0≤t<2 e f(t)=t para t≥2, e pede a transformada de Laplace F(s)=ℒ{f(t)}. Vamos precisar da definição de transformada de Laplace e do Teorema do Deslocamento no Tempo (segunda propriedade de deslocamento).
Passo 2
Reescrevemos f(t) usando a função degrau u(t−2):
f(t)=t·u(t−2).
Para aplicar o teorema de deslocamento de modo direto, decompomos t em (t−2)+2 e obtemos
f(t)=[(t−2)+2]·u(t−2)=(t−2)u(t−2)+2u(t−2).
Passo 3
Pelo Teorema do Deslocamento no Tempo, se g(t)=h(t−a)u(t−a) então ℒ{g(t)}=e^{−a s}H(s), onde H(s)=ℒ{h(t)}. Aplicamos separadamente a cada termo:
– Para (t−2)u(t−2), temos h(t)=t ⇒ H₁(s)=1/s² e fator e^{−2s}.
– Para 2u(t−2), temos h(t)=2 ⇒ H₂(s)=2/s e fator e^{−2s}.
Passo 4
Somando as duas contribuições, a transformada é
F(s)=e^{−2s}·rac{1}{s²}+e^{−2s}·rac{2}{s}=e^{−2s}iggl(rac{1}{s²}+rac{2}{s}iggr).