Em cada um dos problemas encontrar a solução geral da edo dada e determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \pm \infty.
x y^{\prime}=\left(1-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'=\left(1-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
e pede: encontrar a solução geral e determinar o comportamento das soluções quando t\to\pm\infty.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • Há uma pequena notação ambígua: a EDO está escrita com a variável independente chamada de x, mas a pergunta pede comportamento quando t\to\pm\infty. Vou tratar a variável independente por t (isto é, vou substituir x por t) porque a pergunta sobre limites usa t. Portanto eu trabalho com a EDO
t\,\frac{dy}{dt}=\sqrt{1-y^{2}}.
  • A incógnita é a função y=y(t).
  • A raiz quadrada \sqrt{1-y^{2}} é, por definição, não negativa.
  • Perguntas: (i) achar a solução geral; (ii) descrever o comportamento das soluções quando t\to\pm\infty.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática do conceito usado).
A EDO escrita é separável: uma EDO separável é da forma
\frac{dy}{dt}=g(t)\,h(y),
ou seja, dá para colocar todos os termos em y num lado e todos os termos em t no outro. Então integrando obtemos relações entre integrais em y e em t.
Aqui temos
t\frac{dy}{dt}=\sqrt{1-y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{dt}{t}.
Vou explicar a integral à esquerda: a primitiva de 1/\sqrt{1-y^{2}} em y é o arco-seno \arcsin(y), porque \dfrac{d}{dy}\arcsin(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} para |y|<1. À direita, a primitiva de 1/t é \ln|t|. Atenção: apesar de integrarmos formalmente, precisamos lembrar da faixa de validade (domínio) das funções envolvidas — vou tratar isso mais adiante.

Passo 3

Integração por separação (passo a passo das integrais).
Partindo de
\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{dt}{t},
integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int \frac{dt}{t}.
As primitivas são, respectivamente, \arcsin(y) e \ln|t| mais constante. Assim obtemos
\arcsin(y)=\ln|t|+C,
onde C é a constante de integração. Esta é a forma implícita da solução.

Passo 4

Expressar a solução explicitamente e comentar sobre alcance da função arco-seno.
Da relação obtida, isolamos y aplicando o seno:
y(t)=\sin\!\big(\ln|t|+C\big).
No entanto atenção importante: a função \arcsin tem imagem [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. A igualdade \arcsin(y)=\ln|t|+C exige que o lado direito esteja dentro desse intervalo. Logo, para que a solução não viole a definição original, precisamos ter
-\tfrac{\pi}{2}<\ln|t|+C<\tfrac{\pi}{2},
isto é
e^{-C-\frac{\pi}{2}}<|t|<e^{-C+\frac{\pi}{2}}.
Portanto a solução não-constante y(t)=\sin(\ln|t|+C) está definida somente enquanto \ln|t|+C permanecer em \big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Nos extremos desse intervalo fechado temos \ln|t|+C=\pm\tfrac{\pi}{2}, que correspondem a y=\pm1.

Passo 5

Conferir consistência com o sinal da raiz e obter soluções constantes.
O membro direito original é \sqrt{1-y^{2}}, que é não negativo. Isso impõe que
t\,y'=\sqrt{1-y^{2}}\ge 0.
Logo para t>0 temos y'\ge0 (função não decrescente) e para t<0 temos y'\le0 (não crescente). A solução y(t)=\sin(\ln|t|+C) só satisfaz exatamente a equação original enquanto \cos(\ln|t|+C)\ge0 (isto porque ao derivar a expressão obtida aparece \cos(\ln|t|+C), e a igualdade exige que esse cosseno seja não negativo, consistente com a raiz positiva). Isso coincide precisamente com a condição \ln|t|+C\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].
Além disso existem soluções constantes triviais: se |y|=1 então \sqrt{1-y^{2}}=0 e a EDO fica t y'=0, que é satisfeita por y\equiv 1 e y\equiv -1. Essas soluções são válidas para todo t.

Passo 6

Descrição completa do conjunto de soluções (resumo estrutural).
  • Soluções constantes globais:
y(t)\equiv 1,\qquad y(t)\equiv -1.
  • Soluções não-constantes (familia com parâmetro C\in\mathbb{R}):
y(t)=\sin\!\big(\ln|t|+C\big),
definidas apenas no intervalo de t onde
\ln|t|+C\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big),
ou seja para
e^{-C-\frac{\pi}{2}}<|t|<e^{-C+\frac{\pi}{2}}.
Nos extremos desse intervalo (valores de t tais que \ln|t|+C=\pm\tfrac{\pi}{2}) a solução atinge y=\pm1. Em tais pontos o lado direito da EDO fica zero, e a solução pode ser prolongada por continuidade como a constante y\equiv\pm1 além daquele ponto (note que pode haver não unicidade de prolongamento, pois a condição de Lipschitz falha em y=\pm1).

Passo 7

Comportamento quando t\to\pm\infty.
  • Nenhuma solução não-constante da forma y(t)=\sin(\ln|t|+C) está definida até t\to\infty ou t\to -\infty: para |t|\to\infty temos \ln|t|\to\infty, o que sai da faixa \big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Portanto uma solução não-constante sempre atinge |y|=1 em tempos finitos e não se estende como função não-constante até |t|\to\infty.
  • As únicas soluções definidas para todos os t arbitrariamente grandes (ou pequenos) são as constantes y\equiv 1 e y\equiv -1. Logo:
    • Se a solução é não-constante, ela tende para +1 ou -1 ao aproximar-se do ponto terminal do seu intervalo de definição (ou seja, alcança y=\pm1 em tempo finito).
    • Se queremos um comportamento quando t\to+\infty ou t\to-\infty, a única possibilidade de ter uma solução definida nesses limites é escolher a solução constante y\equiv 1 ou y\equiv -1. Nessas soluções triviais, claramente
\lim_{t\to\pm\infty} y(t)=\pm 1,
respectivamente.

Resposta

\arcsin(y)=\ln|t|+C, ou explicitamente y(t)=\sin(\ln|t|+C), com domínio restrito por e^{-C-\frac{\pi}{2}}<|t|<e^{-C+\frac{\pi}{2}}.\n
Soluções constantes: y(t)\equiv 1 e y(t)\equiv -1.\n
Comportamento para t\to\pm\infty: apenas as soluções constantes y\equiv 1 e y\equiv -1 estão definidas para t arbitrariamente grandes; soluções não-constantes atingem |y|=1 em tempo finito (ou seja, aproximam-se de \pm 1 ao alcançar os extremos do seu intervalo de existência).

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