Em cada um dos problemas encontrar a solução geral da edo dada e determinar o comportamento das soluções quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar a solução geral e determinar o comportamento das soluções quando
.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- Há uma pequena notação ambígua: a EDO está escrita com a variável independente chamada de
, mas a pergunta pede comportamento quando . Vou tratar a variável independente por (isto é, vou substituir por ) porque a pergunta sobre limites usa . Portanto eu trabalho com a EDO
- A incógnita é a função
. - A raiz quadrada
é, por definição, não negativa. - Perguntas: (i) achar a solução geral; (ii) descrever o comportamento das soluções quando
.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática do conceito usado).
A EDO escrita é separável: uma EDO separável é da forma
A EDO escrita é separável: uma EDO separável é da forma
ou seja, dá para colocar todos os termos em
num lado e todos os termos em
no outro. Então integrando obtemos relações entre integrais em
e em
.
Aqui temos
Vou explicar a integral à esquerda: a primitiva de
em
é o arco-seno
, porque
para
. À direita, a primitiva de
é
. Atenção: apesar de integrarmos formalmente, precisamos lembrar da faixa de validade (domínio) das funções envolvidas — vou tratar isso mais adiante.
Passo 3
Integração por separação (passo a passo das integrais).
Partindo de
Partindo de
integramos ambos os lados:
As primitivas são, respectivamente,
e
mais constante. Assim obtemos
onde
é a constante de integração. Esta é a forma implícita da solução.
Passo 4
Expressar a solução explicitamente e comentar sobre alcance da função arco-seno.
Da relação obtida, isolamos aplicando o seno:
Da relação obtida, isolamos
No entanto atenção importante: a função
tem imagem
. A igualdade
exige que o lado direito esteja dentro desse intervalo. Logo, para que a solução não viole a definição original, precisamos ter
isto é
Portanto a solução não-constante
está definida somente enquanto
permanecer em
. Nos extremos desse intervalo fechado temos
, que correspondem a
.
Passo 5
Conferir consistência com o sinal da raiz e obter soluções constantes.
O membro direito original é , que é não negativo. Isso impõe que
O membro direito original é
Logo para
temos
(função não decrescente) e para
temos
(não crescente). A solução
só satisfaz exatamente a equação original enquanto
(isto porque ao derivar a expressão obtida aparece
, e a igualdade exige que esse cosseno seja não negativo, consistente com a raiz positiva). Isso coincide precisamente com a condição
.
Além disso existem soluções constantes triviais: se
então
e a EDO fica
, que é satisfeita por
e
. Essas soluções são válidas para todo
.
Passo 6
Descrição completa do conjunto de soluções (resumo estrutural).
- Soluções constantes globais:
- Soluções não-constantes (familia com parâmetro
):
definidas apenas no intervalo de
onde
ou seja para
Nos extremos desse intervalo (valores de
tais que
) a solução atinge
. Em tais pontos o lado direito da EDO fica zero, e a solução pode ser prolongada por continuidade como a constante
além daquele ponto (note que pode haver não unicidade de prolongamento, pois a condição de Lipschitz falha em
).
Passo 7
Comportamento quando
.
- Nenhuma solução não-constante da forma
está definida até ou : para temos , o que sai da faixa . Portanto uma solução não-constante sempre atinge em tempos finitos e não se estende como função não-constante até . - As únicas soluções definidas para todos os
arbitrariamente grandes (ou pequenos) são as constantes e . Logo: - Se a solução é não-constante, ela tende para
ou ao aproximar-se do ponto terminal do seu intervalo de definição (ou seja, alcança em tempo finito). - Se queremos um comportamento quando
ou , a única possibilidade de ter uma solução definida nesses limites é escolher a solução constante ou . Nessas soluções triviais, claramente
- Se a solução é não-constante, ela tende para
respectivamente.
Resposta
Soluções constantes:
Comportamento para