Em cada um dos problemas encontrar a solução geral da edo dada e determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \pm \infty. \frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y}{b x+c y}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{a x+b y}{b x+c y},
onde a,b,c são constantes (reais). Pede-se: (i) a solução geral da EDO e (ii) o comportamento das soluções quando t\rightarrow\pm\infty. Vou entender a notação t\rightarrow\pm\infty como a situação usual aqui, isto é, o limite quando a variável independente x tende a \pm\infty (se o enunciado quis outro t, o procedimento é o mesmo trocando x por t). Informações relevantes fornecidas: a equação é homogênea nos termos x,y (numerador e denominador são formas lineares de x e y). Não há mais dados numéricos; portanto apresentarei a solução geral em termos de a,b,c e tratarei separadamente os casos degenerados (c=0, b=0, etc.).
Passo 2
Motivação do método e substituição: quando o lado direito de uma EDO é função de combinações lineares de x e y com mesmo grau (aqui grau 1), é natural tentar a substituição que reduz a equação a uma de variáveis separáveis. Fazemos a substituição
y = u x,
onde u=u(x). Explico: isso transforma a razão (a x+b y)/(b x+c y) numa razão que depende apenas de u, porque x fatorará. Agora calculamos a derivada dy/dx em termos de u:
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx},
que vem diretamente da regra do produto aplicada a y(x)=u(x)\,x.
Passo 3
Substituímos y=ux e \dfrac{dy}{dx}=u+x\,du/dx na EDO:
u + x\frac{du}{dx}=\frac{a x + b(ux)}{b x + c(ux)}=\frac{a + b u}{b + c u}.
Isolando x\,du/dx obtemos
x\frac{du}{dx}=\frac{a + b u}{b + c u}-u.
Fazendo o mesmo-denominador no lado direito:
x\frac{du}{dx}=\frac{a + b u - u(b + c u)}{b + c u}=\frac{a - c u^2}{b + c u}.
Passo 4
A equação para u(x) é separável. Escrevemos
\frac{b + c u}{a - c u^2}\,du=\frac{dx}{x}.
Agora integraremos ambos os lados. Vou mostrar passo a passo como integrar a parte em u.
Passo 5
Decompondo a integral em u:
\int\frac{b + c u}{a - c u^2}\,du = b\int\frac{du}{a - c u^2}+ c\int\frac{u\,du}{a - c u^2}.
A segunda integral é direta com a substituição w=a-c u^2, pois dw=-2c u\,du. Assim
c\int\frac{u\,du}{a - c u^2}= -\frac{1}{2}\ln|a - c u^2|.
Resta a integral
I_1=\int\frac{du}{a - c u^2}.
Aqui surgem dois subcasos dependentes do sinal de a c (e também o caso a=0 a ser tratado à parte):
Se a c>0, escrevemos a-c u^2=a\bigl(1-(c/a)u^2\bigr). Definindo k=\sqrt{c/a} (positivo), tem-se
ou, reorganizando, uma forma implícita equivalente.
Estas expressões (implícitas) são a solução geral quando c\neq0. Em prova é suficiente dar a solução implícita; em muitos casos pode-se isolar y com esforço extra dependendo dos parâmetros.
Passo 7
Casos degenerados que merecem tratamento à parte (pois a separação anterior usa c\neq0):
Caso c=0 (mas b\neq0):
A equação original fica
\frac{dy}{dx}=\frac{a x + b y}{b x}=\frac{a}{b}+\frac{y}{x}.
Isto é uma EDO linear de primeira ordem rearranjada como
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=\frac{a}{b}.
Fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(-\int \frac{1}{x}dx\bigr)=\frac{1}{x}. Multiplicando e integrando:
\frac{1}{2}y^2=\frac{a}{2c}x^2 + C \quad\Rightarrow\quad y^2=\frac{a}{c}x^2 + C',
ou
y=\pm\sqrt{\frac{a}{c}x^2 + C'}.
Caso b=0 e c=0: a direita é \dfrac{a x}{0} — só faz sentido se a=0, caso em que \dfrac{dy}{dx}=0 e y é constante.
Passo 8
Agora interpreto o comportamento assintótico x\to\pm\infty. Para estudar isto, observe que com a substituição s=\ln|x| a equação para u vira
\frac{du}{ds}=F(u)\quad\text{com}\quad F(u)=\frac{a - c u^2}{b + c u}.
Os pontos-estado (fixos) u^* satisfazem a-c{u^*}^2=0, isto é, quando existem:
u^*=\pm\sqrt{\frac{a}{c}}\quad\text{(existem apenas se \(a/c>0\)).}
Se a/c>0, soluções em grande escala tendem a comportar-se como retas y\sim u^* x (isto é, u(x)\to u^* e portanto y/x\to u^*), desde que a trajetória inicial leve ao ponto fixo estável. A estabilidade é dada por
F'(u^*)=\frac{-2c u^*}{b + c u^*}.
Se F'(u^*)<0 então u^* é assintoticamente estável quando s\to+\infty (ou seja, quando |x|\to\infty). Assim:
Para a/c>0 há duas retas potenciais y=\pm\sqrt{\tfrac{a}{c}}\,x; a qual delas a solução tende depende das constantes a,b,c e da condição inicial (e do sinal de F'(u^*)). Se em um dos u^* o denominador b+c u^* for zero (isto é, b=\mp\sqrt{ac}), então a expressão de F tem singularidade e é caso degenerado (a análise precisa ser feita com cuidado: pode haver cruzamento em tempo finito em s e divergência).
Se a/c<0 então não existem pontos fixos reais u^*. Nesse caso u(s) não converge para uma constante real; duas possibilidades típicas: ou u(s) atinge um valor onde b+c u=0 num s finito (situação em que du/ds tem pólo e a solução y/x explode em módulo), ou u(s) tende para \pm\infty conforme s\to\infty, o que significa que y cresce muito mais rápido que x (comportamento vertical em comparação com a linha y=kx).
Para os casos degenerados tratados no Passo 7:
Se c=0: y=x\bigl(\tfrac{a}{b}\ln|x|+C\bigr). Para |x|\to\infty, \ln|x|\to\infty e portanto y cresce como x\ln|x| com sinal de a/b. Assim y/x\sim \tfrac{a}{b}\ln|x|\to\pm\infty conforme o sinal de a/b e o sentido do infinito.
Se b=0: y^2=\tfrac{a}{c}x^2+C'. Se \tfrac{a}{c}>0 então y\sim\pm\sqrt{\tfrac{a}{c}}\,x para |x|\to\infty. Se \tfrac{a}{c}<0 então, para valores grandes de |x|, o termo \tfrac{a}{c}x^2 é negativo e pode tornar a raiz inexistente para |x| grandes (ou seja, não haverá solução real que se estende até |x|\to\infty sem cruzar alguma singularidade).
Passo 9
Resumo prático para usar na prova (passos a reproduzir rapidamente):
Fazer y=ux, calcular dy/dx=u+x\,du/dx.
Obter x\,du/dx=(a-c u^2)/(b+c u).
Separar e integrar \int (b+c u)/(a-c u^2)\,du=\int dx/x.
Usar as primitivas explicitadas no Passo 5 (com arctanh ou arctan conforme o sinal de ac), substituir u=y/x e escrever a solução implícita.
Para comportamento assintótico, passar para s=\ln|x| e estudar o sistema \,du/ds=F(u) para identificar pontos fixos u^*=\pm\sqrt{a/c} (quando existirem) e sua estabilidade via F'(u^*).
Se \dfrac{a}{c}>0: existem retas assintóticas y=\pm\sqrt{\tfrac{a}{c}}\,x; soluções típicas tenderão a uma dessas retas dependendo das constantes e da estabilidade (estabilidade dada por F'(u^*)=\dfrac{-2c u^*}{b+c u^*}).
Se \dfrac{a}{c}<0: não há retas do tipo y=kx com k constante como atratores; a solução pode divergir ( y/x\to\pm\infty ) ou atingir singularidade quando b+c(y/x)=0 em tempo finito em s=\ln|x|.
No caso c=0: y\sim \tfrac{a}{b}x\ln|x| para |x|\to\infty.
No caso b=0: se \tfrac{a}{c}>0 então y\sim\pm\sqrt{\tfrac{a}{c}}\,x; se \tfrac{a}{c}<0 pode não existir solução real para |x| grandes.