Em cada um dos problemas encontrar a solução geral da edo dada e determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \pm \infty.
y^{\prime}=\frac{\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(2 y)}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(2y)}
e pede duas coisas: (i) encontrar a solução geral e (ii) determinar o comportamento das soluções quando t\to\pm\infty. Vou interpretar a variável independente t do enunciado como x usado na equação, ou seja, analisar o comportamento quando x\to\pm\infty.
Informações dadas relevantes:
\text{EDO: } \; \frac{dy}{dx}=\frac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(2y)}.
Não há condições iniciais dadas, portanto buscamos a família geral de soluções (com constante arbitrária).

Passo 2

Observação e separação de variáveis. A EDO é separável porque podemos escrever todos os termos em y junto com dy e todos os termos em x junto com dx. Multiplicando ambos os lados por \cos^{2}(2y)\,dx obtemos
\cos^{2}(2y)\,dy=\cos^{2}(x)\,dx.
Isto nos permite integrar os dois lados em termos de suas respectivas variáveis.

Passo 3

Integração das duas parcelas. Para integrar usamos a identidade de redução
\cos^{2}(u)=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Aplicando isso a cada lado:
Para o lado esquerdo com variável y:
\cos^{2}(2y)=\frac{1+\cos(4y)}{2},
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\int \cos^{2}(2y)\,dy=\int \frac{1+\cos(4y)}{2}\,dy=\frac{1}{2}y+\frac{1}{8}\sin(4y)+C_1.
Para o lado direito com variável x:
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2},
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\int \cos^{2}(x)\,dx=\int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C_2.

Passo 4

Igualando as integrais (absorvendo as constantes numa única constante C) obtemos uma solução implícita:
\frac{1}{2}y+\frac{1}{8}\sin(4y)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C.
Multiplicando por 8 para limpar frações:
4y+\sin(4y)=4x+2\sin(2x)+C',
onde C'=8C é uma constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.

Passo 5

Comentário sobre domínio e singularidades. A aplicação direta da EDO mostra que o lado direito f(x,y)=\dfrac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(2y)} tem singularidades quando \cos(2y)=0, ou seja quando
2y=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Nessas alturas a derivada y' explode (tangente vertical). No entanto a solução implícita encontrada
4y+\sin(4y)=4x+2\sin(2x)+C'
é bem definida; a função à esquerda tem derivada em y dada por
\frac{d}{dy}\big(4y+\sin(4y)\big)=4+4\cos(4y)=8\cos^{2}(2y),
que se anula exatamente quando \cos(2y)=0. Isso explica porque nesses pontos a representação explícita y(x) pelo Teorema da Função Implícita pode falhar (a inversão local não é possível), compatível com tangentes verticais na solução.

Passo 6

Análise assintótica (comportamento quando x\to\pm\infty). Definimos a diferença
z(x):=y(x)-x.
Substituindo y=x+z na forma implícita obtemos
4(x+z)+\sin(4x+4z)=4x+2\sin(2x)+C',
que simplifica para
4z+\sin(4x+4z)=2\sin(2x)+C'.
Agora isolamos 4z:
4z=2\sin(2x)+C'-\sin(4x+4z).
Usando que |\sin|\le 1 obtemos uma desigualdade de módulo:
|4z|\le |2\sin(2x)|+|C'|+|\sin(4x+4z)|\le 2+|C'|+1=3+|C'|.
Portanto z(x) é limitada por
|z(x)|\le \frac{3+|C'|}{4}\quad\text{para todo }x.
Isto mostra que a diferença y(x)-x permanece limitada para todo x.

Passo 7

Consequências da boundedness. Como y(x)-x é limitada, segue que
y(x)=x+O(1)\quad\text{quando }x\to\pm\infty.
Em particular, quando x\to+\infty temos y(x)\to+\infty e quando x\to-\infty temos y(x)\to-\infty, com crescimento assintótico linear paralelo à reta y=x. A constante de deslocamento (o termo O(1)) depende da constante de integração C' e do comportamento oscilatório das funções seno presentes na relação implícita.

Passo 8

Sobre convergência da diferença y(x)-x. A equação para z,
4z=2\sin(2x)+C'-\sin(4x+4z),
contém termos oscilatórios dependentes de x. Em geral z(x) não tem porque convergir para um limite quando x\to\pm\infty: a presença de \sin(2x) força oscilações, e a outra seno \sin(4x+4z) também oscila; assim normalmente z(x) permanece limitada mas oscila sem limite. Só em casos excepcionais (condições muito especiais) poderia ocorrer convergência, mas não é o comportamento genérico.

Resposta

\text{Solução implícita geral:}\quad 4y+\sin(4y)=4x+2\sin(2x)+C,çãí
com C\in\mathbb{R}.
\text{Comportamento assintótico:}\quad y(x)=x+O(1)\\ \text{quando }x\to\pm\infty,\\ \text{logo }y(x)\to\pm\infty\text{ conforme }x\to\pm\infty.ó

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