Em cada um dos problemas encontrar a solução geral da edo dada e determinar o comportamento das soluções quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) encontrar a solução geral e (ii) determinar o comportamento das soluções quando
. Vou interpretar a variável independente
do enunciado como
usado na equação, ou seja, analisar o comportamento quando
.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
Não há condições iniciais dadas, portanto buscamos a família geral de soluções (com constante arbitrária).
Passo 2
Observação e separação de variáveis. A EDO é separável porque podemos escrever todos os termos em
junto com
e todos os termos em
junto com
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto nos permite integrar os dois lados em termos de suas respectivas variáveis.
Passo 3
Integração das duas parcelas. Para integrar usamos a identidade de redução
Aplicando isso a cada lado:
Para o lado esquerdo com variável
:
logo
Para o lado direito com variável
:
logo
Passo 4
Igualando as integrais (absorvendo as constantes numa única constante
) obtemos uma solução implícita:
Multiplicando por
para limpar frações:
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.
Passo 5
Comentário sobre domínio e singularidades. A aplicação direta da EDO mostra que o lado direito
tem singularidades quando
, ou seja quando
Nessas alturas a derivada
explode (tangente vertical). No entanto a solução implícita encontrada
é bem definida; a função à esquerda tem derivada em
dada por
que se anula exatamente quando
. Isso explica porque nesses pontos a representação explícita
pelo Teorema da Função Implícita pode falhar (a inversão local não é possível), compatível com tangentes verticais na solução.
Passo 6
Análise assintótica (comportamento quando
). Definimos a diferença
Substituindo
na forma implícita obtemos
que simplifica para
Agora isolamos
:
Usando que
obtemos uma desigualdade de módulo:
Portanto
é limitada por
Isto mostra que a diferença
permanece limitada para todo
.
Passo 7
Consequências da boundedness. Como
é limitada, segue que
Em particular, quando
temos
e quando
temos
, com crescimento assintótico linear paralelo à reta
. A constante de deslocamento (o termo
) depende da constante de integração
e do comportamento oscilatório das funções seno presentes na relação implícita.
Passo 8
Sobre convergência da diferença
. A equação para
,
contém termos oscilatórios dependentes de
. Em geral
não tem porque convergir para um limite quando
: a presença de
força oscilações, e a outra seno
também oscila; assim normalmente
permanece limitada mas oscila sem limite. Só em casos excepcionais (condições muito especiais) poderia ocorrer convergência, mas não é o comportamento genérico.
Resposta
com
.