Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(l)\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, pelo Método de Gauss–Jordan, e classifique o sistema formado por cinco equações e três incógnitas. As equações dadas são:
\begin{aligned} 3x+2y-4z&=1\\\ x-y+z&=3\\\ x-y-3z&=-3\\\\ 3x+3y-5z&=0\\\\ -x+y+z&=1. \end{aligned}
Informações relevantes que temos: são 5 equações e 3 incógnitas \,x,y,z. A tarefa é aplicar Gauss–Jordan até obter forma reduzida e, a partir disso, encontrar as soluções (se houver) e classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).

Passo 2

Breve lembrete do Método de Gauss–Jordan (explicação didática):
  • Transformamos o sistema numa matriz aumentada contendo a matriz dos coeficientes e a coluna dos termos independentes.
  • Permitido usar três tipos de operações elementares por linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo do Gauss–Jordan é obter a matriz na forma reduzida por linhas (escalonada reduzida), com pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna do pivô, o que facilita identificar as soluções.
    Agora monto a matriz aumentada do sistema; cada linha corresponde a uma equação, as colunas são x,y,z e o termo independente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Escolho a linha que já tem 1 na primeira coluna como pivô para simplificar (a segunda linha). Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2 para colocar esse pivô na linha 1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Agora anulo as entradas abaixo do pivô (primeira coluna) usando combinações lineares com R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1
  • R_5 \leftarrow R_5 + R_1
Faço as contas linha a linha:
  • Para R_2: (3,2,-4,1) -3(1,-1,1,3) = (0,5,-7,-8).
  • Para R_3: (1,-1,-3,-3) - (1,-1,1,3) = (0,0,-4,-6).
  • Para R_4: (3,3,-5,0) -3(1,-1,1,3) = (0,6,-8,-9).
  • Para R_5: (-1,1,1,1) + (1,-1,1,3) = (0,0,2,4).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -7 & -8\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 6 & -8 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora foco na segunda coluna. A linha 2 tem entrada 5 nessa coluna, posso usar R_2 como pivô. Primeiro faço R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2 para obter pivô 1:
R_2=\left(0,1,-\tfrac{7}{5},-\tfrac{8}{5}\right).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 6 & -8 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 5

Elimino as outras entradas da segunda coluna usando R_2:
  • Para zerar a entrada -1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
  • Para zerar a entrada 6 em R_4: R_4 \leftarrow R_4 - 6R_2.
Faço as contas:
  • Novo R_1: (1,-1,1,3) + (0,1,-\tfrac{7}{5},-\tfrac{8}{5}) = (1,0,1-\tfrac{7}{5},3-\tfrac{8}{5}) = (1,0,-\tfrac{2}{5},\tfrac{7}{5}).
  • Novo R_4: (0,6,-8,-9) -6(0,1,-\tfrac{7}{5},-\tfrac{8}{5}) = (0,0,-8 + \tfrac{42}{5}, -9 + \tfrac{48}{5}).
    • Calculo detalhado: -8 + \tfrac{42}{5} = -\tfrac{40}{5}+\tfrac{42}{5} = \tfrac{2}{5}.
    • -9 + \tfrac{48}{5} = -\tfrac{45}{5}+\tfrac{48}{5} = \tfrac{3}{5}.
      Então R_4=(0,0,\tfrac{2}{5},\tfrac{3}{5}).
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora trato da terceira coluna. R_3 tem entrada -4 nessa coluna, uso R_3 como pivô e faço R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{4}R_3 para obter pivô 1:
R_3 = (0,0,1,\tfrac{3}{2}).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 7

Elimino as outras entradas na terceira coluna usando R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{2}{5}R_3
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{7}{5}R_3
  • R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{2}{5}R_3
  • R_5 \leftarrow R_5 - 2R_3
Faço os cálculos detalhados das componentes da coluna de termos independentes:
  • Para R_1: nova direita =\tfrac{7}{5} + \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{5} + \tfrac{6}{10} = \tfrac{7}{5} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{10}{5} = 2. E a terceira entrada fica zero por construção.
  • Para R_2: nova direita =-\tfrac{8}{5} + \tfrac{7}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = -\tfrac{8}{5} + \tfrac{21}{10} = -\tfrac{16}{10} + \tfrac{21}{10} = \tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2}.
  • Para R_4: nova direita =\tfrac{3}{5} - \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{3}{5} = 0. E a linha fica toda zeros à esquerda (já que \tfrac{2}{5}-\tfrac{2}{5}=0).
  • Para R_5: nova direita =4 - 2\cdot\tfrac{3}{2} = 4 -3 =1. E a parte esquerda fica zeros (já que 2-2\cdot1=0).
Depois dessas operações, as três primeiras linhas tornam-se pivôs com 1s e as duas últimas linhas ficam:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Observe atentamente as últimas duas linhas agora:
  • A quarta linha é (0,0,0 \mid 0), que é uma linha nula e não dá informação contraditória.
  • A quinta linha é (0,0,0 \mid 1), ou seja, corresponde à equação 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1, que é a igualdade 0=1.
A igualdade 0=1 é uma contradição lógica: não existe nenhum triplo (x,y,z) que a satisfaça. Isso significa que as equações do sistema são incompatíveis entre si.

Passo 9

Interpretação em termos de posto (explicando o conceito): o posto da matriz dos coeficientes A é o número de linhas não nulas na parte das colunas de coeficientes na forma escalonada — aqui obtivemos três linhas independentes para os coeficientes, então \operatorname{rank}(A)=3. Já o posto da matriz aumentada (A|b) conta também a coluna dos termos independentes; como apareceu a linha (0,0,0\mid 1), essa linha é não nula na matriz aumentada, logo \operatorname{rank}(A|b)=4. Como \operatorname{rank}(A)=3 e \operatorname{rank}(A|b)=4, temos \operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(A|b), condição clássica que indica que o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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