Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. (l)\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, pelo Método de Gauss–Jordan, e classifique o sistema formado por cinco equações e três incógnitas. As equações dadas são:
Informações relevantes que temos: são 5 equações e 3 incógnitas \,x,y,z. A tarefa é aplicar Gauss–Jordan até obter forma reduzida e, a partir disso, encontrar as soluções (se houver) e classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).
Passo 2
Breve lembrete do Método de Gauss–Jordan (explicação didática):
Transformamos o sistema numa matriz aumentada contendo a matriz dos coeficientes e a coluna dos termos independentes.
Permitido usar três tipos de operações elementares por linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo do Gauss–Jordan é obter a matriz na forma reduzida por linhas (escalonada reduzida), com pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna do pivô, o que facilita identificar as soluções.
Agora monto a matriz aumentada do sistema; cada linha corresponde a uma equação, as colunas são x,y,z e o termo independente:
Escolho a linha que já tem 1 na primeira coluna como pivô para simplificar (a segunda linha). Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2 para colocar esse pivô na linha 1:
Agora foco na segunda coluna. A linha 2 tem entrada 5 nessa coluna, posso usar R_2 como pivô. Primeiro faço R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2 para obter pivô 1:
Elimino as outras entradas na terceira coluna usando R_3:
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{2}{5}R_3
R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{7}{5}R_3
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{2}{5}R_3
R_5 \leftarrow R_5 - 2R_3
Faço os cálculos detalhados das componentes da coluna de termos independentes:
Para R_1: nova direita =\tfrac{7}{5} + \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{5} + \tfrac{6}{10} = \tfrac{7}{5} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{10}{5} = 2. E a terceira entrada fica zero por construção.
Para R_2: nova direita =-\tfrac{8}{5} + \tfrac{7}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = -\tfrac{8}{5} + \tfrac{21}{10} = -\tfrac{16}{10} + \tfrac{21}{10} = \tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2}.
Para R_4: nova direita =\tfrac{3}{5} - \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{3}{5} = 0. E a linha fica toda zeros à esquerda (já que \tfrac{2}{5}-\tfrac{2}{5}=0).
Para R_5: nova direita =4 - 2\cdot\tfrac{3}{2} = 4 -3 =1. E a parte esquerda fica zeros (já que 2-2\cdot1=0).
Depois dessas operações, as três primeiras linhas tornam-se pivôs com 1s e as duas últimas linhas ficam:
A quarta linha é (0,0,0 \mid 0), que é uma linha nula e não dá informação contraditória.
A quinta linha é (0,0,0 \mid 1), ou seja, corresponde à equação 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1, que é a igualdade 0=1.
A igualdade 0=1 é uma contradição lógica: não existe nenhum triplo (x,y,z) que a satisfaça. Isso significa que as equações do sistema são incompatíveis entre si.
Passo 9
Interpretação em termos de posto (explicando o conceito): o posto da matriz dos coeficientes A é o número de linhas não nulas na parte das colunas de coeficientes na forma escalonada — aqui obtivemos três linhas independentes para os coeficientes, então \operatorname{rank}(A)=3. Já o posto da matriz aumentada (A|b) conta também a coluna dos termos independentes; como apareceu a linha (0,0,0\mid 1), essa linha é não nula na matriz aumentada, logo \operatorname{rank}(A|b)=4. Como \operatorname{rank}(A)=3 e \operatorname{rank}(A|b)=4, temos \operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(A|b), condição clássica que indica que o sistema é incompatível (sem solução).