Em cada um dos Problemas, encontre a solucão estacionária da equacâo do calor u_t = alpha * u_xx, que satisfaz o conjunto dado de condicões de contorno.
$(b) b

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a solução estacionária da equação do calor . Isso significa que estamos procurando uma função que não muda com o tempo, ou seja, . As condições de contorno que a solução deve satisfazer são e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, como queremos uma solução estacionária, a derivada temporal é zero. Então, a equação do calor fica:

Passo 3

Agora, simplificamos a equação dividindo ambos os lados por (que é uma constante positiva):

Passo 4

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, vamos integrar duas vezes em relação a . A primeira integração nos dá:
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente, obtemos a expressão para :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno fornecidas: e .
Para :

Passo 7

Para :
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos e , podemos escrever a solução estacionária:

Resposta

A solução estacionária da equação do calor é:

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