Em cada um dos Problemas, encontre a solucão estacionária da equacâo do calor
, que satisfaz o conjunto dado de condicões de contorno.
$(b)
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a solução estacionária da equação do calor
. Isso significa que estamos procurando uma função
que não muda com o tempo, ou seja,
. As condições de contorno que a solução deve satisfazer são
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, como queremos uma solução estacionária, a derivada temporal
é zero. Então, a equação do calor fica:
Passo 3
Agora, simplificamos a equação dividindo ambos os lados por
(que é uma constante positiva):
Passo 4
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, vamos integrar duas vezes em relação a
. A primeira integração nos dá:
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Integrando novamente, obtemos a expressão para
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno fornecidas:
e
.
Para
:
Passo 7
Para
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos escrever a solução estacionária:
Resposta
A solução estacionária da equação do calor é: