integral0^pi integral0^1+cos theta r d r d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse problema envolve cálculo em coordenadas polares, que é muito útil quando trabalhamos com regiões circulares ou que têm simetria radial. Para resolver, vamos precisar usar as regras de integração em coordenadas polares e fazer passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral r , dr = r^22 . Aqui, estamos integrando em relação a , mantendo constante. A regra básica para integrar em relação a é:

Passo 3

Aplicando os limites de integração de r^22|0^1+cos theta = (1 + cos theta)^22 - 0^22 = (1 + cos theta)^22 a :

Passo 4

Agora substituímos esse resultado na integral externa. Ficamos com:
integral0^pi (1 + cos theta)^22 , dtheta = 12 integral0^pi (1 + cos theta)^2 , dtheta

Passo 5

Vamos expandir (1 + cos theta)^2 = 1 + 2cos theta + cos^2 theta para facilitar a integração:
12 integral0^pi (1 + 2cos theta + cos^2 theta) , dtheta
Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que:
integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4
Então, a integral completa fica:
12 [ integral0^pi 1 , dtheta + 2 integral0^pi cos theta , dtheta + integral0^pi cos^2 theta , dtheta ]

Passo 7

Vamos calcular cada parte:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
12 ( pi + 0 + pi2 ) = 12 cdot 3pi2 = 3pi4

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados