Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você trouxe: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais em coordenadas polares, que é muito útil para encontrar áreas de regiões com formatos circulares ou radiais. Vamos precisar saber como integrar funções em coordenadas polares e entender os limites de integração para e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral interna está em relação a , e a externa está em relação a . Isso significa que, para cada valor de entre e , varia de até .
Passo 3
Vamos começar calculando a integral interna em relação a . A integral de é uma função básica. A antiderivada de em relação a é . Então,
Passo 4
Agora que calculamos a integral interna, substituímos esse resultado na integral externa. Então, a integral original fica:
Podemos factorizar o para simplificar:
Passo 5
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno ao quadrado com o cosseno duplo do ângulo: