integral0^pi / 6 integral0^cos 3 theta r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você trouxe: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais em coordenadas polares, que é muito útil para encontrar áreas de regiões com formatos circulares ou radiais. Vamos precisar saber como integrar funções em coordenadas polares e entender os limites de integração para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral interna está em relação a , e a externa está em relação a . Isso significa que, para cada valor de entre e , varia de até .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral interna em relação a integral0^cos 3 theta r , dr = [ 12 r^2 ]0^cos 3 theta = 12 (cos 3theta)^2 - 12 (0)^2 = 12 cos^2 3theta . A integral de é uma função básica. A antiderivada de em relação a é . Então,

Passo 4

Agora que calculamos a integral interna, substituímos esse resultado na integral externa. Então, a integral original fica:
integral0^pi / 6 12 cos^2 3theta , dtheta
Podemos factorizar o 12 integral0^pi / 6 cos^2 3theta , dtheta para simplificar:

Passo 5

Para integrar cos^2 x = 1 + cos 2x2 , usamos a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno ao quadrado com o cosseno duplo do ângulo:
cos^2 3theta = 1 + cos 6theta2
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Substituindo a identidade na integral, fica:
12 integral0^pi / 6 1 + cos 6theta2 , dtheta = 14 integral0^pi / 6 (1 + cos 6theta) , dtheta
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
14 ( integral0^pi / 6 1 , dtheta + integral0^pi / 6 cos 6theta , dtheta )

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:

Passo 8

Agora, substituímos esses resultados de volta:
14 ( pi6 + 0 ) = 14 cdot pi6 = pi24

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados