Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada inversa de Fourier de uma função complicada. A matéria envolve transformar uma função do domínio da frequência para o domínio do tempo usando a transformada inversa de Fourier. Para isso, vamos precisar entender propriedades da transformada, como o deslocamento no tempo e a transformação de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos transformar:
O termo
sugere um deslocamento no tempo, e o denominador
é uma função que podemos simplificar para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador:
Isso nos ajuda a identificar a forma da função, que se assemelha a uma função exponencial ajustada com um deslocamento na frequência.
Passo 4
Agora, reconhecemos que a transformada inversa de
é uma função exponencial do tipo
, onde
é a função degrau de Heaviside. No nosso caso,
e há um deslocamento de frequência de 2, então precisamos ajustar essa transformação.
Passo 5
Levantamos que:
Isso aplica a propriedade de deslocamento na frequência, onde um termo
na transformada corresponde a um deslocamento no tempo.
Passo 6
Agora, consideramos o termo
, que implica um deslocamento no tempo. A propriedade de deslocamento nos diz que multiplicar por
na frequência corresponde a deslocar a função no tempo por
:
Portanto, aplicando isso à nossa função:
Passo 7
Substituindo tudo, temos: