Calcule: -F^-1{e^(-i 5 ω) / (3 + i(ω - 2))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada inversa de Fourier de uma função complicada. A matéria envolve transformar uma função do domínio da frequência para o domínio do tempo usando a transformada inversa de Fourier. Para isso, vamos precisar entender propriedades da transformada, como o deslocamento no tempo e a transformação de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos transformar:
O termo sugere um deslocamento no tempo, e o denominador é uma função que podemos simplificar para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador:
Isso nos ajuda a identificar a forma da função, que se assemelha a uma função exponencial ajustada com um deslocamento na frequência.

Passo 4

Agora, reconhecemos que a transformada inversa de
é uma função exponencial do tipo , onde é a função degrau de Heaviside. No nosso caso, e há um deslocamento de frequência de 2, então precisamos ajustar essa transformação.

Passo 5

Levantamos que:
Isso aplica a propriedade de deslocamento na frequência, onde um termo na transformada corresponde a um deslocamento no tempo.

Passo 6

Agora, consideramos o termo , que implica um deslocamento no tempo. A propriedade de deslocamento nos diz que multiplicar por na frequência corresponde a deslocar a função no tempo por :
Portanto, aplicando isso à nossa função:

Passo 7

Substituindo tudo, temos:

Resposta

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