Nos problemas de 1 a 6, determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Passo 1
O enunciado dá seis funções e pede, para cada uma delas, determinar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. As funções são:
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
- (5)
- (6)
Passo 2
Primeiro, vou explicar claramente o critério que vamos usar (a “aula rapidinha” sobre paridade).
- Uma função
é par se, para todo do domínio, vale
Isso significa que o valor em
é igual ao valor em
— o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
- Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, vale
Isso significa que o valor em
é o oposto do valor em
— o gráfico tem simetria rotacional de
em torno da origem.
- Se não vale nem
nem para todo do domínio, dizemos que a função não é nem par nem ímpar (nenhuma das duas).
Estratégia prática: para cada função calcular
(substituir
por
) e comparar com
e com
. Se
é par; se
é ímpar; caso contrário, nenhuma.
Passo 3
Analisar (1):
.
Calcular
:
Comparar com
:
Como
para todo
do domínio, concluímos que
é ímpar. (Comentário didático: potências ímpares de
mudam de sinal quando
, e soma de termos todos ímpares (como
e
) resulta numa função ímpar.)
Passo 4
Analisar (2):
.
Calcular
:
Comparar com
e com
:
Observa-se que
não é igual a
(os sinais dos termos ímpares mudam) e também
não é igual a
(o termo constante
faz diferença:
tem
, enquanto
tem
). Portanto a função não satisfaz nem a condição de par nem a de ímpar: é nenhuma das duas. (Dica: a presença de um termo constante diferente de zero costuma quebrar a imparidade.)
Passo 5
Analisar (3):
.
Calcular
:
Usar a propriedade trigonométrica: a tangente é função ímpar, isto é
. Aplicando com
:
Logo
para todo
no domínio onde a função está definida, portanto
é ímpar. (Observação didática: a imparidade da
vem do fato de
ser ímpar e
ser par, e
.)
Passo 6
Analisar (4):
.
Calcular
:
Usar definição
e a propriedade
(cosseno é par):
Portanto
para todo
do domínio (onde
está definido), logo
é par. (Explicação: recíproco de função par também é par desde que o denominador não seja zero.)
Passo 7
Analisar (5):
.
Calcular
:
A igualdade
vale para todo
. Assim
sempre, logo
é par. (Observação: qualquer potência ímpar de
continua sendo par porque o módulo anula o sinal de
. De fato,
é par para qualquer
.)
Passo 8
Analisar (6):
.
Calcular
:
Comparar com
e
:
Não é verdade que
para todo
(isso só ocorreria em
), e também
em geral (o lado esquerdo é positivo e o direito é negativo). Portanto não vale nem
nem
: a função
não é nem par nem ímpar. (Dica: a combinação
e
pode ser separada em parte par e ímpar:
é par e
é ímpar — mas
isolado não é nenhum dos dois.)
Passo 9
Recapitulando de forma curta: fazemos sempre
e comparamos com
e com
. Termos polinomiais com apenas potências ímpares tendem a produzir funções ímpares; termos constantes ou mistura de termos pares/ímpares geralmente tornam a função nenhuma; funções trigonométricas e exponenciais têm paridade que pode ser usada por suas propriedades conhecidas (
ímpar,
par,
ímpar, recíproco de função par é par quando definido, etc.). Você está indo bem — pratique mais alguns exemplos rápidos e isso vai ficar automático na prova!
Resposta
(1) ímpar
(2) nenhuma das duas
(3) ímpar
(4) par
(5) par
(6) nenhuma das duas
(2) nenhuma das duas
(3) ímpar
(4) par
(5) par
(6) nenhuma das duas