Nos problemas de 1 a 6, determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
(1) f(x)=x^{3}-2 x
(2) f(x)=x^{3}-2 x+1
(3) f(x)=\tan 2 x
(4) f(x)=\operatorname{sec} x
(5) f(x)=|x|^{3}
(6) f(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá seis funções e pede, para cada uma delas, determinar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. As funções são:
  • (1) f(x)=x^{3}-2x
  • (2) f(x)=x^{3}-2x+1
  • (3) f(x)=\tan 2x
  • (4) f(x)=\operatorname{sec} x
  • (5) f(x)=|x|^{3}
  • (6) f(x)=e^{-x}

Passo 2

Primeiro, vou explicar claramente o critério que vamos usar (a “aula rapidinha” sobre paridade).
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio, vale
f(-x)=f(x).
Isso significa que o valor em -x é igual ao valor em x — o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, vale
f(-x)=-f(x).
Isso significa que o valor em -x é o oposto do valor em x — o gráfico tem simetria rotacional de 180^\circ em torno da origem.
  • Se não vale nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x) para todo x do domínio, dizemos que a função não é nem par nem ímpar (nenhuma das duas).
Estratégia prática: para cada função calcular f(-x) (substituir x por -x) e comparar com f(x) e com -f(x). Se f(-x)=f(x) é par; se f(-x)=-f(x) é ímpar; caso contrário, nenhuma.

Passo 3

Analisar (1): f(x)=x^{3}-2x.
Calcular f(-x):
f(-x)=(-x)^{3}-2(-x)=-x^{3}+2x.
Comparar com -f(x):
-f(x)=-(x^{3}-2x)=-x^{3}+2x.
Como f(-x)=-f(x) para todo x do domínio, concluímos que f é ímpar. (Comentário didático: potências ímpares de x mudam de sinal quando x\to -x, e soma de termos todos ímpares (como x^3 e x) resulta numa função ímpar.)

Passo 4

Analisar (2): f(x)=x^{3}-2x+1.
Calcular f(-x):
f(-x)=(-x)^{3}-2(-x)+1=-x^{3}+2x+1.
Comparar com f(x) e com -f(x):
f(x)=x^{3}-2x+1,\qquad -f(x)=-x^{3}+2x-1.
Observa-se que f(-x) não é igual a f(x) (os sinais dos termos ímpares mudam) e também f(-x) não é igual a -f(x) (o termo constante +1 faz diferença: f(-x) tem +1, enquanto -f(x) tem -1). Portanto a função não satisfaz nem a condição de par nem a de ímpar: é nenhuma das duas. (Dica: a presença de um termo constante diferente de zero costuma quebrar a imparidade.)

Passo 5

Analisar (3): f(x)=\tan 2x.
Calcular f(-x):
f(-x)=\tan(-2x).
Usar a propriedade trigonométrica: a tangente é função ímpar, isto é \tan(-\theta)=-\tan\theta. Aplicando com \theta=2x:
\tan(-2x)=-\tan(2x).
Logo f(-x)=-f(x) para todo x no domínio onde a função está definida, portanto \tan 2x é ímpar. (Observação didática: a imparidade da \tan vem do fato de \sin ser ímpar e \cos ser par, e \tan=\dfrac{\sin}{\cos}.)

Passo 6

Analisar (4): f(x)=\operatorname{sec} x.
Calcular f(-x):
f(-x)=\operatorname{sec}(-x).
Usar definição \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e a propriedade \cos(-x)=\cos x (cosseno é par):
\operatorname{sec}(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Portanto f(-x)=f(x) para todo x do domínio (onde \operatorname{sec} está definido), logo \operatorname{sec} x é par. (Explicação: recíproco de função par também é par desde que o denominador não seja zero.)

Passo 7

Analisar (5): f(x)=|x|^{3}.
Calcular f(-x):
f(-x)=|{-x}|^{3}=|x|^{3}=f(x).
A igualdade |-x|=|x| vale para todo x. Assim f(-x)=f(x) sempre, logo f é par. (Observação: qualquer potência ímpar de |x| continua sendo par porque o módulo anula o sinal de x. De fato, g(x)=|x|^{n} é par para qualquer n>0.)

Passo 8

Analisar (6): f(x)=e^{-x}.
Calcular f(-x):
f(-x)=e^{-(-x)}=e^{x}.
Comparar com f(x) e -f(x):
f(x)=e^{-x},\qquad -f(x)=-e^{-x}.
Não é verdade que e^{x}=e^{-x} para todo x (isso só ocorreria em x=0), e também e^{x}\neq -e^{-x} em geral (o lado esquerdo é positivo e o direito é negativo). Portanto não vale nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x): a função e^{-x} não é nem par nem ímpar. (Dica: a combinação e^{x} e e^{-x} pode ser separada em parte par e ímpar: \operatorname{cosh} x=\tfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} é par e \operatorname{sinh} x=\tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} é ímpar — mas e^{-x} isolado não é nenhum dos dois.)

Passo 9

Recapitulando de forma curta: fazemos sempre f(-x) e comparamos com f(x) e com -f(x). Termos polinomiais com apenas potências ímpares tendem a produzir funções ímpares; termos constantes ou mistura de termos pares/ímpares geralmente tornam a função nenhuma; funções trigonométricas e exponenciais têm paridade que pode ser usada por suas propriedades conhecidas ( \sin ímpar, \cos par, \tan ímpar, recíproco de função par é par quando definido, etc.). Você está indo bem — pratique mais alguns exemplos rápidos e isso vai ficar automático na prova!

Resposta

(1) ímpar
(2) nenhuma das duas
(3) ímpar
(4) par
(5) par
(6) nenhuma das duas

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