Em cada um dos Problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}-9 y=0
4 y^{\prime \prime}-9 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações que temos: é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; os símbolos usados são (função de
),
(derivada primeira) e
(derivada segunda). O objetivo é encontrar a família de soluções (com constantes arbitrárias) que satisfaz a equação.
Informações que temos: é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; os símbolos usados são
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (passo a passo, bem didático).
Um método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma exponencial
Um método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que essa tentativa funciona? Porque derivar
multiplica por
:
Substituindo essa forma na equação, o fator
é não-nulo e pode ser cancelado, deixando uma equação algébrica em
— a chamada equação característica — que determina os valores possíveis de
. Esses valores de
geram soluções elementares
; combinando soluções independentes obtém-se a solução geral.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica.
Substituindo em
obtemos:
Substituindo
Fatorando
(não nulo),
Agora resolvemos a equação quadrática em
:
Obtivemos duas raízes reais distintas
e
. Para uma equação de segunda ordem com duas raízes reais distintas, a teoria nos diz que as soluções correspondentes
e
são linearmente independentes e a combinação linear delas dá a solução geral:
onde
e
são constantes arbitrárias (que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas).
Passo 4
Interpretação das constantes e forma alternativa (dica prática para prova).
As constantes e
representam a liberdade da solução geral: o espaço de soluções é bidimensional porque a equação é de segunda ordem. Às vezes, é conveniente escrever a solução em termos de funções pares e ímpares combinadas, usando cosseno hiperbólico e seno hiperbólico:
As constantes
onde
e
são constantes relacionadas com
e
por simples mudanças de base. Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática na prova.
Passo 5
Verificação rápida (mostrar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação).
Tomando
Tomando
calculemos as derivadas:
Agora substituindo em
:
portanto a solução satisfaz a equação, confirmado.