Em cada um dos Problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}-9 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
4\,y''-9\,y=0
e pede a solução geral y(x).
Informações que temos: é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; os símbolos usados são y (função de x), y' (derivada primeira) e y'' (derivada segunda). O objetivo é encontrar a família de soluções (com constantes arbitrárias) que satisfaz a equação.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (passo a passo, bem didático).
Um método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que essa tentativa funciona? Porque derivar e^{r x} multiplica por r:
\frac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{r x}=r^2 e^{r x}.
Substituindo essa forma na equação, o fator e^{r x} é não-nulo e pode ser cancelado, deixando uma equação algébrica em r — a chamada equação característica — que determina os valores possíveis de r. Esses valores de r geram soluções elementares e^{r x}; combinando soluções independentes obtém-se a solução geral.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica.
Substituindo y=e^{r x} em 4y''-9y=0 obtemos:
4(r^2 e^{r x})-9(e^{r x})=0.
Fatorando e^{r x} (não nulo),
e^{r x}\bigl(4r^2-9\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4r^2-9=0.
Agora resolvemos a equação quadrática em r:
4r^2=9 \quad\Rightarrow\quad r^2=\frac{9}{4} \quad\Rightarrow\quad r=\pm\frac{3}{2}.
Obtivemos duas raízes reais distintas r_1=\tfrac{3}{2} e r_2=-\tfrac{3}{2}. Para uma equação de segunda ordem com duas raízes reais distintas, a teoria nos diz que as soluções correspondentes e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são linearmente independentes e a combinação linear delas dá a solução geral:
y(x)=C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas).

Passo 4

Interpretação das constantes e forma alternativa (dica prática para prova).
As constantes C_1 e C_2 representam a liberdade da solução geral: o espaço de soluções é bidimensional porque a equação é de segunda ordem. Às vezes, é conveniente escrever a solução em termos de funções pares e ímpares combinadas, usando cosseno hiperbólico e seno hiperbólico:
y(x)=A\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr)+B\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr),
onde A e B são constantes relacionadas com C_1 e C_2 por simples mudanças de base. Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática na prova.

Passo 5

Verificação rápida (mostrar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação).
Tomando
y(x)=C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x},
calculemos as derivadas:
y'(x)=\tfrac{3}{2}C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}-\tfrac{3}{2}C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x},
y''(x)=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2 C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2 C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x}=\tfrac{9}{4}\bigl(C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x}\bigr).
Agora substituindo em 4y''-9y:
4y''-9y=4\cdot\frac{9}{4}\bigl(C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x}\bigr)-9\bigl(C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x}\bigr)=0,
portanto a solução satisfaz a equação, confirmado.

Resposta

y(x)=C_1 e^{\tfrac{3}{2}x}+C_2 e^{-\tfrac{3}{2}x}

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