Questão 6. Simplifique as expressões:
E=\frac{(n-6)!+(n-3)!}{(n-2)!+(6-n)!}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
E=\frac{(n-6)!+(n-3)!}{(n-2)!+(6-n)!}.
Vamos listar as informações relevantes e as restrições naturais dos símbolos envolvidos.
  • O símbolo ! representa fatorial, que só está definido (no sentido usual de inteiros) para números inteiros não negativos: para k inteiro com k\ge0 temos k!=k\cdot(k-1)\cdots1 e 0!=1.
  • Portanto cada argumento de fatorial na expressão deve ser inteiro \ge0. As quatro exigências são:
    • n-6\ge0\Rightarrow n\ge6,
    • n-3\ge0\Rightarrow n\ge3,
    • n-2\ge0\Rightarrow n\ge2,
    • 6-n\ge0\Rightarrow n\le6.
  • Juntando todas: para que TODOS os fatoriais existam é preciso ter n\ge6 e n\le6 simultaneamente, ou seja, necessariamente n=6.
Resumo: a expressão só está bem definida (no sentido usual) quando n=6. A partir daqui vamos calcular E substituindo n=6.

Passo 2

Calcular cada fatorial para n=6. Primeiro identidades básicas de fatorial (lembrando que 0!=1):
(n-6)! = (6-6)! = 0! = 1.

Passo 3

Continuando com os demais:
(n-3)! = (6-3)! = 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.

Passo 4

Os fatoriais do denominador:
(n-2)! = (6-2)! = 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24,
(6-n)! = (6-6)! = 0! = 1.

Passo 5

Agora temos numerador e denominador separados:
  • Numerador =(n-6)!+(n-3)! = 1+6 = 7.
  • Denominador =(n-2)!+(6-n)! = 24+1 = 25.

Resposta

\dfrac{7}{25}

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