Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo [0;4].
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Representar graficamente a região entre o gráfico de
e o eixo no intervalo . - Calcular a área dessa região.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
.
Passo 2
Determinar onde a curva cruza o eixo
e o sinal de
dentro do intervalo (isso é necessário para saber se a região fica acima ou abaixo do eixo e como calcular a área).
Resolver
:
Fatorando:
Logo as raízes são
e
.
Para saber o sinal de
entre as raízes, podemos avaliar em um ponto do intervalo, por exemplo
:
Como
, a parábola está abaixo do eixo
para todo
em
. Observação geométrica: a função é uma parábola que abre para cima (coeficiente de
positivo), com vértice em
e valor
. Assim a curva corta o eixo
exatamente nas extremidades do intervalo e fica abaixo do eixo no interior do intervalo.
Passo 3
Explicar como calcular a área pedida. A área entre o gráfico de uma função
e o eixo
no intervalo
é
Se
é negativa em todo o intervalo, então
e a área é
Aqui, como vimos,
em
(igual a zero apenas nas extremidades), então
a área procurada é .
a área procurada é
Passo 4
Calcular a integral definida passo a passo.
Encontrar uma primitiva de
. Uma primitiva é
porque derivando
obtém-se
.
Calcular a integral:
Avaliar em
:
Escrever
como
para combinar frações:
Avaliar em
dá
. Portanto
Passo 5
Obter a área: como a integral deu um valor negativo (porque
está abaixo do eixo), a área é o valor absoluto:
Em valor decimal isso é aproximadamente
.
Representação gráfica (como desenhar):
- Desenhar os eixos
e . - Marcar as interseções com o eixo
em e . - Marcar o vértice em
. - Desenhar a parábola
que passa por esses pontos e abre para cima. - Sombrear a região entre a parábola e o eixo
para ; essa região fica abaixo do eixo (isto é, é a região entre a curva e o eixo, limitada por e ).
Resposta
Gráfico: parábola
com raízes em
e
e vértice em
; região entre a curva e o eixo
em
é a região abaixo do eixo sombreada.
Área:
Área: