Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x)=x^{2}-4 x e o eixo x no intervalo [0;4].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Representar graficamente a região entre o gráfico de f(x)=x^{2}-4x e o eixo x no intervalo [0,4].
  • Calcular a área dessa região.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}-4x.
  • O intervalo considerado é [0,4].

Passo 2

Determinar onde a curva cruza o eixo x e o sinal de f(x) dentro do intervalo (isso é necessário para saber se a região fica acima ou abaixo do eixo e como calcular a área).
Resolver f(x)=0:
x^{2}-4x=0
Fatorando:
x(x-4)=0
Logo as raízes são x=0 e x=4.
Para saber o sinal de f entre as raízes, podemos avaliar em um ponto do intervalo, por exemplo x=2:
f(2)=2^{2}-4\cdot2=4-8=-4.
Como f(2)<0, a parábola está abaixo do eixo x para todo x em (0,4). Observação geométrica: a função é uma parábola que abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo), com vértice em x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2 e valor f(2)=-4. Assim a curva corta o eixo x exatamente nas extremidades do intervalo e fica abaixo do eixo no interior do intervalo.

Passo 3

Explicar como calcular a área pedida. A área entre o gráfico de uma função f e o eixo x no intervalo [a,b] é
\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.
Se f(x) é negativa em todo o intervalo, então |f(x)|=-f(x) e a área é
\int_{a}^{b} -f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui, como vimos, f(x)\le 0 em [0,4] (igual a zero apenas nas extremidades), então
a área procurada é -\displaystyle\int_{0}^{4} \bigl(x^{2}-4x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral definida passo a passo.
Encontrar uma primitiva de f(x)=x^{2}-4x. Uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2},
porque derivando F obtém-se F'(x)=x^{2}-4x.
Calcular a integral:
\int_{0}^{4}\bigl(x^{2}-4x\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}\right]_{0}^{4}.
Avaliar em x=4:
\frac{4^{3}}{3}-2\cdot4^{2}=\frac{64}{3}-2\cdot16=\frac{64}{3}-32.
Escrever 32 como \dfrac{96}{3} para combinar frações:
\frac{64}{3}-32=\frac{64}{3}-\frac{96}{3}=-\frac{32}{3}.
Avaliar em x=0 0. Portanto
\int_{0}^{4}\bigl(x^{2}-4x\bigr)\,dx=-\frac{32}{3}.

Passo 5

Obter a área: como a integral deu um valor negativo (porque f está abaixo do eixo), a área é o valor absoluto:
\text{Área}=-\int_{0}^{4}\bigl(x^{2}-4x\bigr)\,dx=-\left(-\frac{32}{3}\right)=\frac{32}{3}.Á
Em valor decimal isso é aproximadamente 10{,}666\ldots.
Representação gráfica (como desenhar):
  • Desenhar os eixos x e y.
  • Marcar as interseções com o eixo x em (0,0) e (4,0).
  • Marcar o vértice em \left(2,-4\right).
  • Desenhar a parábola y=x^{2}-4x que passa por esses pontos e abre para cima.
  • Sombrear a região entre a parábola e o eixo x para 0\le x\le 4; essa região fica abaixo do eixo x (isto é, é a região entre a curva e o eixo, limitada por x=0 e x=4).

Resposta

Gráfico: parábola y=x^{2}-4x com raízes em (0,0) e (4,0) e vértice em \left(2,-4\right); região entre a curva e o eixo x em [0,4] é a região abaixo do eixo sombreada.
Área: \dfrac{32}{3}

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