Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y=3 x e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar graficamente a região limitada pelas curvas e calcular a área dessa região. As informações dadas são as duas curvas:
  • y=3x (uma reta passando pela origem),
  • y=x^{2} (uma parábola com vértice na origem que abre para cima).
O objetivo concreto é: identificar a região onde essas duas curvas se fecham (ou seja, o arco da parábola e o segmento/ramo da reta que formam uma “folha” limitada) e calcular a área dessa região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Interseção ocorre quando os dois y são iguais, isto é resolver
x^{2}=3x.
Subtraindo 3x de ambos os lados:
x^{2}-3x=0.
Fatorando:
x(x-3)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=3. Esses são os valores de x onde as curvas se cruzam. Para obter os pontos completos em coordenadas, calcule y em cada um:
  • Para x=0: y=3\cdot 0=0. Ponto (0,0).
  • Para x=3: y=3\cdot 3=9. Ponto (3,9).

Passo 3

Determinar qual curva fica por cima (maior y) entre x=0 e x=3, para saber a integranda correta (topo menos base). Escolhe-se um ponto teste no intervalo, por exemplo x=1:
  • y_{\text{reta}}=3\cdot 1=3.
  • y_{\text{parábola}}=1^{2}=1á.
    Como 3>1, a reta y=3x fica acima da parábola y=x^{2} para 0<x<3. Logo a área entre as curvas entre as abscissas x=0 e x=3 é dada por integrar a diferença \text{reta} - \text{parábola}á.

Passo 4

Apresentar a fórmula do cálculo da área entre duas curvas no eixo x. Se duas curvas y=f(x) e y=g(x) se intersectam em x=a e x=b e f(x)\ge g(x) em [a,b], então a área da região limitada entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui:
  • f(x)=3x (a curva superior),
  • g(x)=x^{2} (a curva inferior),
  • a=0 e b=3.
Portanto a área pedida é
\text{Área}=\int_{0}^{3}\bigl(3x-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro encontrar antiderivadas (primitivas) das parcelas:
  • Uma primitiva de 3x é \dfrac{3}{2}x^{2}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{3}{2}x^{2}\right)=3x.
  • Uma primitiva de x^{2} é \dfrac{1}{3}x^{3}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{3}x^{3}\right)=x^{2}.
Portanto uma primitiva da integranda 3x-x^{2} é
F(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites de integração e subtrair:
\text{Área}=F(3)-F(0).Á
Calcule F(3):
F(3)=\dfrac{3}{2}\cdot 3^{2}-\dfrac{1}{3}\cdot 3^{3} =\dfrac{3}{2}\cdot 9-\dfrac{1}{3}\cdot 27 =\dfrac{27}{2}-9.
Escrevendo 9 como \dfrac{18}{2}:
F(3)=\dfrac{27}{2}-\dfrac{18}{2}=\dfrac{9}{2}.
E F(0)=0. Logo
\text{Área}=\dfrac{9}{2}.Á
Se preferir em decimal, \dfrac{9}{2}=4,5.

Passo 7

Instruções simples para representar graficamente (passo-a-passo para o rascunho):
  • Trace um sistema de eixos x e y.
  • Desenhe a parábola y=x^{2}: passa por (0,0), (1,1), (2,4), (3,9) e abre para cima.
  • Desenhe a reta y=3x: passa por (0,0), (1,3), (2,6), (3,9).
  • Marque os pontos de interseção (0,0) e (3,9).
  • A região limitada fica entre as duas curvas, aberta para cima, com a reta formando a “tampa” superior e a parábola a base inferior, para 0\le x\le 3. Sombrie essa região no rascunho para visualizar a área que foi calculada.

Resposta

Gráfico: reta y=3x e parábola y=x^{2} intersectando em (0,0) e (3,9); região limitada é a área entre essas curvas para 0\le x\le 3.
Área: \dfrac{9}{2}

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