Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: representar graficamente a região limitada pelas curvas e calcular a área dessa região. As informações dadas são as duas curvas:
-
(uma reta passando pela origem), -
(uma parábola com vértice na origem que abre para cima).
O objetivo concreto é: identificar a região onde essas duas curvas se fecham (ou seja, o arco da parábola e o segmento/ramo da reta que formam uma “folha” limitada) e calcular a área dessa região.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Interseção ocorre quando os dois
são iguais, isto é resolver
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Portanto as soluções são
e
. Esses são os valores de
onde as curvas se cruzam. Para obter os pontos completos em coordenadas, calcule
em cada um:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 3
Determinar qual curva fica por cima (maior
) entre
e
, para saber a integranda correta (topo menos base). Escolhe-se um ponto teste no intervalo, por exemplo
:
-
. -
.
Como, a reta fica acima da parábola para . Logo a área entre as curvas entre as abscissas e é dada por integrar a diferença .
Passo 4
Apresentar a fórmula do cálculo da área entre duas curvas no eixo
. Se duas curvas
e
se intersectam em
e
e
em
, então a área da região limitada entre elas é
Aqui:
-
(a curva superior), -
(a curva inferior), -
e .
Portanto a área pedida é
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro encontrar antiderivadas (primitivas) das parcelas:
- Uma primitiva de
é , porque . - Uma primitiva de
é , porque .
Portanto uma primitiva da integranda
é
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites de integração e subtrair:
Calcule
:
Escrevendo
como
:
E
. Logo
Se preferir em decimal,
.
Passo 7
Instruções simples para representar graficamente (passo-a-passo para o rascunho):
- Trace um sistema de eixos
e . - Desenhe a parábola
: passa por , , , e abre para cima. - Desenhe a reta
: passa por , , , . - Marque os pontos de interseção
e . - A região limitada fica entre as duas curvas, aberta para cima, com a reta formando a “tampa” superior e a parábola a base inferior, para
. Sombrie essa região no rascunho para visualizar a área que foi calculada.
Resposta
Gráfico: reta
e parábola
intersectando em
e
; região limitada é a área entre essas curvas para
.
Área:
Área: