Em cada um dos problemas encontre a solução do problema de valor inicial dado:
ty (t+1) y=t, y(ln 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y(ln2)=1 com t>0 e .
O conteúdo é equação diferencial linear de 1ª ordem, e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Dividindo tudo por t (que é ≠0), temos
y'+l(1+1tr)y=1
Aqui P(t)=1+1/t e Q(t)=1. O fator integrante é
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral(1+1/t)dt=e^t+ln t=t,e^t

Passo 3

Multiplicamos a equação original em forma padrão por mu(t):
t e^t y'+(t+1)e^t y=t e^t
O lado esquerdo é a derivada de t e^t y, logo
ddtl(t e^t yr)=t e^t
Integramos ambos os lados:
t e^t y=integral t e^t dt=e^t(t-1)+C,
onde C é constante de integração. Assim a solução geral é
y(t)=e^t(t-1)+Ct e^t=t-1t+Ct e^t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(ln2)=1. Substituindo na solução geral:
1=y(ln2)=1-1ln2+Cln2,e^ln2 =1-1ln2+C2ln2
Isso implica
-1ln2+C2ln2=0 Longrightarrow C=2

Resposta

y(t)=t-1+2e^-tt, t>0

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