Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

Uma curva passa pelo ponto x= 2, y=1 e tem por coeficiente angular - (x+yx) em cada ponto. Determine a equação da curva.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva que passa por (2, 1) e cuja inclinação em cada ponto satisfaz y' = -x+yx. Esse é um problema de equação diferencial de primeira ordem e linear.

Passo 2

Reescrevendo a derivada temos y' = -1 - yx. Colocando na forma padrão de equação linear:
y' + 1x,y = -1

Passo 3

Identificamos P(x)=tfrac1x e Q(x)=-1. A fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral1x,dx=x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x para obter:
x,y' + y = -x

Passo 5

Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de x,y:
ddx(x,y) = -x

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
x,y = integral(-x),dx = -tfracx^22 + C

Passo 7

Isolando y obtemos a solução geral:
y = - x2 + Cx

Passo 8

Para determinar C, usamos a condição inicial (x,y)=(2,1):
1 = -22 + C2 implies 1 = -1 + C2 implies C2 = 2 implies C = 4

Resposta

A equação da curva é y = - x2 + 4x

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