Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
y^prime prime-2 y^prime+y=t de

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO com forçamento impulsivo usando transformada de Laplace e depois representar graficamente a solução. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace de derivadas e a propriedade da função delta deslocada: vamos precisar das fórmulas básicas de transformada e do teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO
Ly''-2Ly'+Ly=Lt,de
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos
Ly''=s^2Y(s), Ly'=sY(s), Ly=Y(s)
Logo a equação em s fica
(s^2-2s+1)Y(s)=Lt,de

Passo 3

Para calcular Lt,de usamos a propriedade de amostragem
Lf(t)de
Aqui f(t)=t e a=1, logo
Lt,de

Passo 4

Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=e^-s(s-1)^2

Passo 5

Para inverter usamos o teorema do deslocamento no tempo: se F(s)=1/(s-1)^2 então L^-1F(s)=t e^t. Com o fator e^-s temos deslocamento em 1:
y(t)=u(t-1),(t-1)e^,(t-1)
Em forma de função por partes:
y(t)=0,&t<1,(t-1)e^t-1,&t>=1
Graficamente é zero até t=1 e depois cresce como uma exponencial ponderada por t-1.

Resposta

y(t)= 0,&t<1,(t-1)e^t-1,&t>=1

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