Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linearidade, de transformada de derivadas e das transformadas de polinômios e constantes.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Lembrando que
Logo:
Passo 3
Passo 4
Substituímos e isolamos
:
Passo 5
Passo 6
Fazemos decomposição em frações parciais em três termos:
-
-
-
fica como está.
Passo 7
Somando tudo, obtemos
Agora invertemos cada parcela:
Passo 8
Passo 9
Portanto a solução é
Passo 10
Verificamos rapidamente as condições iniciais:
-
-
logo
Tudo confere.
Passo 11
Para representar graficamente, basta plotar
em função de
. O gráfico mostra uma rampa de inclinação 3 com oscilações de frequência
rad/s e amplitude modulada pelos termos de cosseno e seno.