Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
y^prime prime+16 y=48(t-pi),
y(0)=-1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
y'' + 16y = 48igl(t - pir), y(0) = -1, y'(0)=0 
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linearidade, de transformada de derivadas e das transformadas de polinômios e constantes.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly = Y(s), Lt = 1s^2, L1 = 1s
Logo:

Passo 3

s^2Y(s) - s(-1) - 0 + 16Y(s) = 48cdot1s^2 - 48picdot1s

Passo 4

Substituímos e isolamos Y(s):

Passo 5

(s^2 + 16)Y(s) + s = 48s^2 - 48pis Longrightarrow Y(s) = 48/s^2 - 48pi/s - ss^2 + 16

Passo 6

Fazemos decomposição em frações parciais em três termos:
  1. dfrac48s^2(s^2+16) = 3s^2 - 3s^2+16
  2. dfrac48pis(s^2+16) = 3pis - 3pi,ss^2+16
  3. dfracss^2+16 fica como está.

Passo 7

Somando tudo, obtemos
Y(s) = 3s^2 - 3s^2+16 - 3pis + 3pi,ss^2+16 - ss^2+16
Agora invertemos cada parcela:

Passo 8

  • L^-1(3/s^2)=3t
  • L^-1(-3pi/s)=-3pi
  • L^-1(-3/(s^2+16))=-tfrac34sin(4t)
  • L^-1((3pi-1),s/(s^2+16))=(3pi-1)cos(4t)

Passo 9

Portanto a solução é
y(t) = 3t - 3pi - 34sin(4t) + (3pi - 1)cos(4t)

Passo 10

Verificamos rapidamente as condições iniciais:
  • y(0)=0 -3pi+3pi-1=-1
  • y'(t)=3 -3cos4t -4(3pi-1)sin4t, logo y'(0)=3-3=0
    Tudo confere.

Passo 11

Para representar graficamente, basta plotar
y(t)=3t - 3pi - tfrac34sin(4t) + (3pi - 1)cos(4t)
em função de t. O gráfico mostra uma rampa de inclinação 3 com oscilações de frequência 4 rad/s e amplitude modulada pelos termos de cosseno e seno.

Resposta

y(t) = 3t , - , 3pi , - , 34sin(4t) , + , (3pi - 1)cos(4t)

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