Utilize o teorema de Stokes para calcular integral duplaS(nabla times F) cdot d S
F(x, y, z)=2 z i+3 x j+5 y k, S: r(u, v)=u cos v i+u sin v j+(1-u^2) k, 0 <= u <= 2, 0 <= v <= 2 pi, com orientação para fora da superfície.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaS(nablatimes F)cdot dS
para
F(x,y,z)=2z,i+3x,j+5y,k,
sobre a superfície S dada por
r(u,v)=(ucos v,,usin v,,1-u^2), 0<= u<=2,;0<= v<=2pi,
com orientação “para fora”. Para usar o Teorema de Stokes, transformamos esse integral de superfície num integral de linha sobre a fronteira partial S:
integral duplaS(nablatimes F)cdot dS =ointpartial SFcdot dr,
onde a orientação de partial S é dada pela regra da mão direita em relação ao vetor normal “para fora” de S.

Passo 2

A fronteira partial S ocorre em u=2, ou seja, o círculo
rC(v)=(2cos v,;2sin v,;1-2^2)=(2cos v,,2sin v,,-3), 0<= v<=2pi
Seu vetor tangente é
drCdv=(-2sin v,;2cos v,;0),dv
Escolhendo o normal “para fora” que aponte para cima em geral, o parâmetro v cresce no sentido anti-horário visto de cima, o que coincide com esta parametrização.

Passo 3

Avaliaremos F sobre rC:
F(rC(v)) =(2z,,3x,,5y)|(x,y,z)=(2cos v,2sin v,-3) =(-6,;6cos v,;10sin v)
O diferencial de posição é
drC=(-2sin v,;2cos v,;0),dv
O produto escalar é
Fcdot drC =(-6)(-2sin v)+(6cos v)(2cos v)+(10sin v)cdot0 =12sin v+12cos^2v

Passo 4

Integrando de 0 a 2pi:
ointpartial SFcdot dr =integral0^2pil(12sin v+12cos^2vr),dv =underbrace12integral0^2pisin v,dv=0 +12integral0^2picos^2v,dv
Como
integral0^2picos^2v,dv =integral0^2pi1+cos2v2,dv =pi,
segue
ointpartial SFcdot dr =12cdotpi =12pi

Resposta

integral duplaS(nablatimes F)cdot dS=12pi

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