Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e pede para resolvê‑la (obter a solução geral):
Informações fornecidas:
- A equação é homogênea (termo independente igual a zero).
- Não foram dadas condições iniciais; portanto busca‑se a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos tentar uma solução do tipo exponencial para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Proponho a ansatz
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explico por que: para equações lineares com coeficientes constantes, funções exponenciais
transformam derivadas em múltiplos da própria função, o que simplifica para uma equação polinomial em
.
Substituindo
na equação, temos
Substituindo na equação original e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática característica:
Calculo o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. A raiz quadrada do discriminante é
. Assim
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
(aqui
e
), as duas soluções complexas independentes
e
geram, por combinação linear das partes real e imaginária, duas soluções reais independentes:
Isto vem da fórmula de Euler
. Aplicando aqui (
), obtemos as duas soluções reais independentes
Por linearidade da equação, a combinação linear geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (reais) determinadas por condições iniciais, se existirem.
Passo 5
Para ganhar confiança, verifico rapidamente que essa forma realmente satisfaz a equação. Escrevendo
calculo as derivadas (mostrando a ideia, sem pular os passos essenciais):
Agora somando
e agrupando os coeficientes de
e
obtém‑se zero (cada coeficiente anula), portanto a expressão é solução da equação diferencial. Assim a forma dada é correta.