Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e pede para resolvê‑la (obter a solução geral):
y'' - 2y' + 10y = 0.
Informações fornecidas:
  • A equação é homogênea (termo independente igual a zero).
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto busca‑se a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos tentar uma solução do tipo exponencial para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Proponho a ansatz
y = e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explico por que: para equações lineares com coeficientes constantes, funções exponenciais e^{r x} transformam derivadas em múltiplos da própria função, o que simplifica para uma equação polinomial em r.
Substituindo y=e^{r x} na equação, temos
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação original e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^{2} - 2r + 10 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática característica:
r^{2} - 2r + 10 = 0.
Calculo o discriminante:
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{-36}=6\mathrm{i}. Assim
r = \frac{2 \pm 6\mathrm{i}}{2} = 1 \pm 3\mathrm{i}.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r= \alpha \pm \beta \mathrm{i} (aqui \alpha=1 e \beta=3), as duas soluções complexas independentes e^{(\alpha+\beta \mathrm{i})x} e e^{(\alpha-\beta \mathrm{i})x} geram, por combinação linear das partes real e imaginária, duas soluções reais independentes:
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Isto vem da fórmula de Euler e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta. Aplicando aqui ( \alpha=1,\\ \beta=3), obtemos as duas soluções reais independentes
e^{x}\cos(3x)\quad\text{e}\quad e^{x}\sin(3x).
Por linearidade da equação, a combinação linear geral é
y(x) = C_{1} e^{x}\cos(3x) + C_{2} e^{x}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais) determinadas por condições iniciais, se existirem.

Passo 5

Para ganhar confiança, verifico rapidamente que essa forma realmente satisfaz a equação. Escrevendo
y = e^{x}\bigl(A\cos(3x)+B\sin(3x)\bigr),
calculo as derivadas (mostrando a ideia, sem pular os passos essenciais):
y' = e^{x}\bigl((A+3B)\cos(3x)+(B-3A)\sin(3x)\bigr),
y'' = e^{x}\bigl((-8A+6B)\cos(3x)+(-6A-8B)\sin(3x)\bigr).
Agora somando y''-2y'+10y e agrupando os coeficientes de \cos(3x) e \sin(3x) obtém‑se zero (cada coeficiente anula), portanto a expressão é solução da equação diferencial. Assim a forma dada é correta.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}\cos(3x)+C_{2}e^{x}\sin(3x)

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