Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede que se resolva:
y'' + y' - 6y = 0.
Informações relevantes que temos aqui:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (aparece y'').
  • É homogênea (lado direito igual a zero).
  • Os coeficientes são constantes (coeficientes de y'',y',y são números: 1,1,-6).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para todo x.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): é comum tentar uma solução do tipo exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica mais simples. Então propõe-se uma solução do tipo
y(x)=e^{r x},
onde r é um número que devemos determinar. Agora calcule as derivadas necessárias e substitua na equação.

Passo 3

Calcular derivadas e substituir:
y'=r e^{r x},\qquad y''=r^{2} e^{r x}.
Substituindo em \;y''+y'-6y=0\; obtemos, dividindo por e^{r x} (não zero),
r^{2}+r-6=0.
Essa equação algébrica em r é chamada equação característica. Agora resolvemos essa quadrática.

Passo 4

Resolver a quadrática \;r^{2}+r-6=0\;.
Calcule o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.
As raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}.
Portanto
r_{1}=\frac{-1+5}{2}=2,\qquad r_{2}=\frac{-1-5}{2}=-3.

Passo 5

Interpretação e construção da solução geral: como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções independentes. Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (serão determinadas se houver condições iniciais).

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom conferir): verificar que cada termo satisfaz a equação.
Para y=e^{2x}:
y'=2e^{2x},\quad y''=4e^{2x}\quad\Rightarrow\quad y''+y'-6y=(4+2-6)e^{2x}=0.
Para y=e^{-3x}:
y'=-3e^{-3x},\quad y''=9e^{-3x}\quad\Rightarrow\quad y''+y'-6y=(9-3-6)e^{-3x}=0.
Como cada solução funciona e são linearmente independentes, a combinação linear também é solução válida.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}

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