Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede que se resolva:
Informações relevantes que temos aqui:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (aparece
). - É homogênea (lado direito igual a zero).
- Os coeficientes são constantes (coeficientes de
são números: ).
O objetivo é encontrar a solução geralque satisfaça essa igualdade para todo .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): é comum tentar uma solução do tipo exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica mais simples. Então propõe-se uma solução do tipo
onde
é um número que devemos determinar. Agora calcule as derivadas necessárias e substitua na equação.
Passo 3
Calcular derivadas e substituir:
Substituindo em
obtemos, dividindo por
(não zero),
Essa equação algébrica em
é chamada equação característica. Agora resolvemos essa quadrática.
Passo 4
Resolver a quadrática
.
Calcule o discriminante:
Calcule o discriminante:
As raízes são
Portanto
Passo 5
Interpretação e construção da solução geral: como as raízes
e
são reais e distintas, as funções
e
são soluções independentes. Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias reais (serão determinadas se houver condições iniciais).
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom conferir): verificar que cada termo satisfaz a equação.
Para :
Para
Para
:
Como cada solução funciona e são linearmente independentes, a combinação linear também é solução válida.