Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede resolver pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-4y = x^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau 2, isto é x^{2}.
  • O que se pede é a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-4y = 0.
Explicação rápida do porquê: Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo esse tipo, obtemos a equação característica (uma equação algébrica cuja solução dá as exponenciais que compõem a solução homogênea).
Formamos a equação característica:
r^{2}+3r-4=0.
Resolvendo essa quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatorando), fatoramos:
r^{2}+3r-4 = (r-1)(r+4)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-4.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem).

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular y_{p}(x) da equação completa.
Regra que vou usar (explicada de forma simples): quando o termo for um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular que seja um polinômio de grau n com coeficientes desconhecidos; se alguma das potências de e^{\alpha x} ou polinômios escolhidos está em conflito com a solução homogênea (resonância), multiplicamos por x^{m} até eliminar o conflito. Aqui o termo forçado é x^{2} (polinômio de grau 2). Verificamos se 0 (que corresponderia a uma solução polinomial constante/exponencial com r=0) é raiz da equação característica; avaliando r^{2}+3r-4 em r=0 -4\neq0. Portanto não há ressonância com polinômios e não precisamos multiplicar por x.
Assim escolhemos o ansatz:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são coeficientes indeterminados que vamos determinar substituindo na equação.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}. São operações básicas de diferenciação de polinômios; lembre-se: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
y_{p}^{\prime}(x)=2Ax+B,
y_{p}^{\prime\prime}(x)=2A.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}+3y_{p}^{\prime}-4y_{p} = x^{2}.
Fazendo a substituição:
2A + 3(2Ax+B) - 4(Ax^{2}+Bx+C) = x^{2}.
Agora expandimos e organizamos por potências de x.

Passo 6

Expandindo os termos:
2A + 6Ax + 3B - 4Ax^{2} -4Bx -4C = x^{2}.
Juntando termos semelhantes por potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}: -4A.
  • Coeficiente de x: 6A - 4B.
  • Termo constante: 2A + 3B - 4C.
Logo a igualdade termo a termo com o lado direito x^{2} (cuja decomposição é 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0) dá o sistema de equações para A,B,C:
\begin{cases} -4A = 1,\\[4pt] 6A - 4B = 0,\\[4pt] 2A + 3B - 4C = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
-4A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\dfrac{1}{4}.
Usando esse A na segunda equação:
6A - 4B = 0 \quad\Rightarrow\quad -4B = -6A.
Substituindo A=-\dfrac{1}{4}:
-4B = -6\left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.
Portanto
B = -\dfrac{3}{8}.
Agora a terceira equação para encontrar C:
2A + 3B - 4C = 0 \quad\Rightarrow\quad -4C = -2A - 3B.
Calculando o lado direito com A=-\dfrac{1}{4} e B=-\dfrac{3}{8}:
2A = 2\left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{1}{2},
3B = 3\left(-\dfrac{3}{8}\right) = -\dfrac{9}{8},
2A + 3B = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{4}{8} - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{13}{8}.
Assim
-4C = -\dfrac{13}{8} \quad\Rightarrow\quad C = -\dfrac{13}{32}.

Passo 8

Agora escrevemos a solução particular encontrada:
y_{p}(x) = -\dfrac{1}{4}x^{2} - \dfrac{3}{8}x - \dfrac{13}{32}.
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-4x} -\dfrac{1}{4}x^{2} - \dfrac{3}{8}x - \dfrac{13}{32},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-4x}-\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{3}{8}x-\dfrac{13}{32}

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