Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados: y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede resolver pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-4y = x^{2}.
Informações relevantes que temos:
A equação é linear, com coeficientes constantes.
O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau 2, isto é x^{2}.
O que se pede é a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-4y = 0.
Explicação rápida do porquê: Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo esse tipo, obtemos a equação característica (uma equação algébrica cuja solução dá as exponenciais que compõem a solução homogênea).
Formamos a equação característica:
r^{2}+3r-4=0.
Resolvendo essa quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatorando), fatoramos:
r^{2}+3r-4 = (r-1)(r+4)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-4.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem).
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular y_{p}(x) da equação completa.
Regra que vou usar (explicada de forma simples): quando o termo for um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular que seja um polinômio de grau n com coeficientes desconhecidos; se alguma das potências de e^{\alpha x} ou polinômios escolhidos está em conflito com a solução homogênea (resonância), multiplicamos por x^{m} até eliminar o conflito. Aqui o termo forçado é x^{2} (polinômio de grau 2). Verificamos se 0 (que corresponderia a uma solução polinomial constante/exponencial com r=0) é raiz da equação característica; avaliando r^{2}+3r-4 em r=0 dá -4\neq0. Portanto não há ressonância com polinômios e não precisamos multiplicar por x.
Assim escolhemos o ansatz:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são coeficientes indeterminados que vamos determinar substituindo na equação.
Passo 4
Calculemos as derivadas de y_{p}. São operações básicas de diferenciação de polinômios; lembre-se: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
y_{p}^{\prime}(x)=2Ax+B,
y_{p}^{\prime\prime}(x)=2A.
Passo 5
Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial: