Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-10y'+25y=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação envolve y como função de uma variável (digamos x).
  • Aparecem derivadas de segunda ordem y'' e de primeira ordem y'.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para todo x.

Passo 2

Motivação do método que vou usar (explicação passo a passo do porquê): tentar uma solução do tipo exponencial funciona bem porque derivar uma exponencial só multiplica por uma constante, o que simplifica a equação. Ou seja, suponha uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo) a descobrir. Agora calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial obtém-se um fator comum e^{rx} (que nunca é zero), então sobra uma equação algébrica em r chamada equação característica:
r^{2}-10r+25=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Calcule o discriminante:
\Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot25 = 100-100 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{10}{2}=5.
Também se pode fatorar a quadrática:
r^{2}-10r+25=(r-5)^{2}.

Passo 4

O que significa ter raiz dupla e como obter as duas soluções independentes necessárias: quando a equação característica tem duas raízes distintas r_{1} e r_{2}, as soluções independentes são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}. No caso de raiz dupla r (multiplicidade 2), uma solução é y_{1}(x)=e^{rx} e a segunda solução independente pode ser escolhida como y_{2}(x)=x e^{rx}. Assim a solução geral é combinação linear
y(x)=C_{1}e^{rx}+C_{2}x e^{rx}.
No nosso caso r=5, então a forma esperada é
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Justificando que x e^{rx} realmente funciona (verificação direta): para mostrar que y_{2}(x)=x e^{5x} satisfaz a equação, calcule suas derivadas e substitua.
Calcule
y_{2}(x)=x e^{5x},
y_{2}'(x)=e^{5x}+5x e^{5x}=(1+5x)e^{5x},
y_{2}''(x)=5e^{5x}+5(1+5x)e^{5x}=(5+5+25x)e^{5x}=(10+25x)e^{5x}.
Agora substitua na equação original:
y_{2}''-10y_{2}'+25y_{2}=(10+25x)e^{5x}-10(1+5x)e^{5x}+25x e^{5x}.
Colocando e^{5x} em evidência:
\bigl(10+25x-10-50x+25x\bigr)e^{5x}=0\cdot e^{5x}=0.
Logo y_{2} satisfaz a equação. Assim y_{1}=e^{5x} e y_{2}=x e^{5x} são soluções independentes.

Passo 6

Observação sobre independência linear: y_{1} e y_{2} não são múltiplas um do outro (um é e^{5x}, outro é x e^{5x}), portanto formam um conjunto de soluções linearmente independentes para uma equação de segunda ordem. Assim a solução geral é a combinação linear com duas constantes arbitrárias.

Passo 7

Resumo final e forma prática para a prova: quando a característica tem raiz dupla r, escreva direto
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{rx}.
No problema específico, r=5, então aplique essa fórmula.

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{5x}

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