Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação envolve
como função de uma variável (digamos ). - Aparecem derivadas de segunda ordem
e de primeira ordem . - O objetivo é encontrar a solução geral
que satisfaça essa igualdade para todo .
Passo 2
Motivação do método que vou usar (explicação passo a passo do porquê): tentar uma solução do tipo exponencial funciona bem porque derivar uma exponencial só multiplica por uma constante, o que simplifica a equação. Ou seja, suponha uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a descobrir. Agora calcule as derivadas:
Substituindo na equação diferencial obtém-se um fator comum
(que nunca é zero), então sobra uma equação algébrica em
chamada equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica. Calcule o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
Também se pode fatorar a quadrática:
Passo 4
O que significa ter raiz dupla e como obter as duas soluções independentes necessárias: quando a equação característica tem duas raízes distintas
e
, as soluções independentes são
e
. No caso de raiz dupla
(multiplicidade 2), uma solução é
e a segunda solução independente pode ser escolhida como
. Assim a solução geral é combinação linear
No nosso caso
, então a forma esperada é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Justificando que
realmente funciona (verificação direta): para mostrar que
satisfaz a equação, calcule suas derivadas e substitua.
Calcule
Calcule
Agora substitua na equação original:
Colocando
em evidência:
Logo
satisfaz a equação. Assim
e
são soluções independentes.
Passo 6
Observação sobre independência linear:
e
não são múltiplas um do outro (um é
, outro é
), portanto formam um conjunto de soluções linearmente independentes para uma equação de segunda ordem. Assim a solução geral é a combinação linear com duas constantes arbitrárias.
Passo 7
Resumo final e forma prática para a prova: quando a característica tem raiz dupla
, escreva direto
No problema específico,
, então aplique essa fórmula.