Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral:
y'' + 4y' + 4y = 0.
Informações claras extraídas do enunciado:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • É homogênea (lado direito igual a zero).
  • Os coeficientes são constantes (4 e 4).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (sem condições iniciais dadas).

Passo 2

Estratégia padrão (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se procurar soluções da forma \,y=e^{r x}\,. Por quê? Porque derivando uma exponencial obtém-se a mesma função multiplicada por constantes, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Vou mostrar isso passo a passo.
Tome y=e^{r x}. Então
y' = r e^{r x}, \qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação original, obtemos (podemos dividir por e^{r x}, que nunca é zero):
r^{2} + 4r + 4 = 0.
Essa equação algébrica em r chama-se equação característica.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2} + 4r + 4 = 0.
Reconhece-se que é um quadrado perfeito:
r^{2} + 4r + 4 = (r+2)^{2}.
Portanto a equação característica dá
(r+2)^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad r = -2
com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 4

Tratamento didático da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções independentes de uma base da solução geral são
e^{r x} \qquad\text{e}\qquad x e^{r x}.
Uma forma de ver isso é fatorar o operador diferencial. Definindo D=\dfrac{d}{dx}, a equação pode ser escrita como
(D^{2}+4D+4)y=(D+2)^{2}y=0.
Seja u=(D+2)y. Então (D+2)u=0, cuja solução é u=A e^{-2x} com A constante. Agora voltamos a y resolvendo a equação de primeira ordem
(D+2)y = A e^{-2x},
ou seja
y' + 2y = A e^{-2x}.
Para resolver essa equação de primeira ordem usamos o fator integrante e^{2x}. Multiplicando ambos os lados por e^{2x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x} y\bigr) = A.
Integrando em x,
e^{2x} y = A x + B,
onde B é outra constante de integração. Finalmente
y = (A x + B)\,e^{-2x}.
Renomeando as constantes A e B para as convenções usuais C_{2} e C_{1}, a solução geral fica
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2} x\bigr)\,e^{-2x}.

Passo 5

Verificação rápida (sem cálculos extensos): a forma \bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-2x} contém as duas funções linearmente independentes e^{-2x} e x e^{-2x}. Como obtivemos duas constantes arbitrárias C_{1},C_{2}, essa é a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-2x}

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