Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações claras extraídas do enunciado:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
- É homogênea (lado direito igual a zero).
- Os coeficientes são constantes (4 e 4).
- O objetivo é encontrar a solução geral
(sem condições iniciais dadas).
Passo 2
Estratégia padrão (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se procurar soluções da forma
. Por quê? Porque derivando uma exponencial obtém-se a mesma função multiplicada por constantes, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vou mostrar isso passo a passo.
Tome
. Então
Substituindo na equação original, obtemos (podemos dividir por
, que nunca é zero):
Essa equação algébrica em
chama-se equação característica.
Passo 3
Resolver a equação característica:
Reconhece-se que é um quadrado perfeito:
Portanto a equação característica dá
com multiplicidade 2 (raiz dupla).
Passo 4
Tratamento didático da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade 2, as duas soluções independentes de uma base da solução geral são
Uma forma de ver isso é fatorar o operador diferencial. Definindo
, a equação pode ser escrita como
Seja
. Então
, cuja solução é
com
constante. Agora voltamos a
resolvendo a equação de primeira ordem
ou seja
Para resolver essa equação de primeira ordem usamos o fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Integrando em
,
onde
é outra constante de integração. Finalmente
Renomeando as constantes
e
para as convenções usuais
e
, a solução geral fica
Passo 5
Verificação rápida (sem cálculos extensos): a forma
contém as duas funções linearmente independentes
e
. Como obtivemos duas constantes arbitrárias
, essa é a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.