Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial dada e encontrar todas as soluções (a família geral de soluções). A equação fornecida é:
Informações importantes que o enunciado dá:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
- É homogênea (lado direito é zero).
- Os coeficientes são constantes:
e .
O objetivo é escrever a solução geralque satisfaça essa equação.
Passo 2
Estratégia (por que usar esta ideia): para equações lineares homogêneas de ordem constante é muito eficiente testar soluções da forma
, porque derivando
a forma se preserva (derivadas são múltiplos de
). Vou explicar passo a passo como usar isso.
Passo 3
Calcular derivadas da proposta
:
Agora substituo essas expressões na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos:
Passo 4
Como
para todo
, a condição para que a substituição produza uma solução é:
Essa é a chamada equação característica. Agora resolvo-a explicitamente.
Passo 5
Resolver a equação quadrática
. Tento fatorar:
pois
e
. Assim as raízes são
Passo 6
Interpretação das raízes: são duas raízes reais distintas. Para esse caso padrão, a teoria (que aqui vou explicar de forma simples) diz que duas soluções independentes são
e
com
e
as raízes, e a solução geral é uma combinação linear:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas só se houver condições iniciais).
Passo 7
Aplicando ao nosso caso com
e
, obtemos a solução geral:
com
(ou
, conforme o contexto).
Passo 8
Breve verificação (para você ganhar confiança): verifico uma das parcelas, por exemplo
. As derivadas são
e
. Substituindo:
Logo
é solução; por linearidade, qualquer combinação linear de
e
também é solução. Além disso, as duas funções são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano não é zero), então elas formam uma base de soluções.
Passo 9
Dica rápida para a prova: memorize o procedimento
- assumir
; 2) obter a equação característica; 3) achar raízes; 4) montar a solução conforme o tipo de raízes (reais distintos, reais repetidas, ou complexas conjugadas). Isso resolve a maioria dos exercícios desse tipo rapidamente. Força aí — você consegue!