Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+21 y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial dada e encontrar todas as soluções (a família geral de soluções). A equação fornecida é:
y^{\prime\prime}+10y^{\prime}+21y=0.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • É homogênea (lado direito é zero).
  • Os coeficientes são constantes: 10 e 21.
    O objetivo é escrever a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Estratégia (por que usar esta ideia): para equações lineares homogêneas de ordem constante é muito eficiente testar soluções da forma \displaystyle y=e^{r x}, porque derivando e^{r x} a forma se preserva (derivadas são múltiplos de e^{r x}). Vou explicar passo a passo como usar isso.

Passo 3

Calcular derivadas da proposta \displaystyle y=e^{r x}:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Agora substituo essas expressões na equação diferencial:
y''+10y'+21y = r^{2} e^{r x} + 10 r e^{r x} + 21 e^{r x}.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos:
e^{r x}\bigl(r^{2}+10r+21\bigr)=0.

Passo 4

Como e^{r x}\neq0 para todo x, a condição para que a substituição produza uma solução é:
r^{2}+10r+21=0.
Essa é a chamada equação característica. Agora resolvo-a explicitamente.

Passo 5

Resolver a equação quadrática \displaystyle r^{2}+10r+21=0. Tento fatorar:
r^{2}+10r+21=(r+3)(r+7),
pois 3\cdot7=21 e 3+7=10. Assim as raízes são
r=-3\quad\text{e}\quad r=-7.

Passo 6

Interpretação das raízes: são duas raízes reais distintas. Para esse caso padrão, a teoria (que aqui vou explicar de forma simples) diz que duas soluções independentes são \displaystyle e^{r_{1}x} e \displaystyle e^{r_{2}x} com r_{1} e r_{2} as raízes, e a solução geral é uma combinação linear:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinadas só se houver condições iniciais).

Passo 7

Aplicando ao nosso caso com r_{1}=-3 e r_{2}=-7, obtemos a solução geral:
y(x)=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-7x},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}, conforme o contexto).

Passo 8

Breve verificação (para você ganhar confiança): verifico uma das parcelas, por exemplo y=e^{-3x}. As derivadas são y'=-3e^{-3x} e y''=9e^{-3x}. Substituindo:
y''+10y'+21y = 9e^{-3x}+10(-3e^{-3x})+21e^{-3x}=(9-30+21)e^{-3x}=0.
Logo e^{-3x} é solução; por linearidade, qualquer combinação linear de e^{-3x} e e^{-7x} também é solução. Além disso, as duas funções são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano não é zero), então elas formam uma base de soluções.

Passo 9

Dica rápida para a prova: memorize o procedimento
  1. assumir y=e^{r x}; 2) obter a equação característica; 3) achar raízes; 4) montar a solução conforme o tipo de raízes (reais distintos, reais repetidas, ou complexas conjugadas). Isso resolve a maioria dos exercícios desse tipo rapidamente. Força aí — você consegue!

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-7x}

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