Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-15 y=0
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dada a equação diferencial
y'' + 2y' - 15y = 0,
o objetivo é encontrar a solução geral y(x) (isto é, todas as soluções da equação).
Informações úteis que já podemos notar (sem resolver ainda):
É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Os coeficientes são constantes.
A equação é homogênea (lado direito igual a 0).
Não há condições iniciais fornecidas, então vamos procurar a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia do método e por que funciona: tentar y=e^{rx}.
Para equações lineares com coeficientes constantes, uma boa aposta é procurar soluções da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (podendo ser real ou complexo) a determinar. A razão é que derivadas de e^{rx} são proporcionais a e^{rx}, o que simplifica muito a equação.
Calcule as derivadas de y=e^{rx}:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} + 2 r e^{rx} - 15 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação algébrica chamada equação característica:
r^2 + 2r - 15 = 0.
Passo 3
Resolver a equação característica.
A equação é uma quadrática comum. Calcule o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot(-15) = 4 + 60 = 64.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=8. As raízes são
Construir a solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, as funções e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são soluções linearmente independentes da equação diferencial homogênea. Então a solução geral é a combinação linear
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Substituindo as raízes encontradas r_1=3 e r_2=-5, obtemos
y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{-5x}.
Passo 5
Breve verificação e comentário sobre independência linear (como testar rápido).
Verificação simples: cada termo e^{rx} satisfaz a equação se r é raiz da característica, pois