Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-15 y=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a equação diferencial
y'' + 2y' - 15y = 0,
o objetivo é encontrar a solução geral y(x) (isto é, todas as soluções da equação).
  • Informações úteis que já podemos notar (sem resolver ainda):
    • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
    • Os coeficientes são constantes.
    • A equação é homogênea (lado direito igual a 0).
  • Não há condições iniciais fornecidas, então vamos procurar a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia do método e por que funciona: tentar y=e^{rx}.
  • Para equações lineares com coeficientes constantes, uma boa aposta é procurar soluções da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (podendo ser real ou complexo) a determinar. A razão é que derivadas de e^{rx} são proporcionais a e^{rx}, o que simplifica muito a equação.
  • Calcule as derivadas de y=e^{rx}:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
  • Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} + 2 r e^{rx} - 15 e^{rx} = 0.
  • Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação algébrica chamada equação característica:
r^2 + 2r - 15 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica.
  • A equação é uma quadrática comum. Calcule o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot(-15) = 4 + 60 = 64.
  • A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=8. As raízes são
r = \frac{-2 \pm 8}{2}.
  • Logo as duas raízes são
r_1 = \frac{-2+8}{2}=3,\qquad r_2 = \frac{-2-8}{2}=-5.
  • A quadrática também fatoriza como
r^2 + 2r - 15 = (r-3)(r+5).

Passo 4

Construir a solução geral a partir das raízes distintas.
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, as funções e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são soluções linearmente independentes da equação diferencial homogênea. Então a solução geral é a combinação linear
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
  • Substituindo as raízes encontradas r_1=3 e r_2=-5, obtemos
y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{-5x}.

Passo 5

Breve verificação e comentário sobre independência linear (como testar rápido).
  • Verificação simples: cada termo e^{rx} satisfaz a equação se r é raiz da característica, pois
\text{para }y=e^{rx}:\qquad y''+2y'-15y=(r^2+2r-15)e^{rx}=0.
  • Independência linear (garante que precisamos de duas constantes): o Wronskiano de e^{3x} e e^{-5x} é
W = \begin{vmatrix} e^{3x} & e^{-5x} \\\\ 3e^{3x} & -5e^{-5x} \end{vmatrix} = -8 e^{-2x}\neq 0
para todo x, logo são linearmente independentes e a combinação acima é, de fato, a solução geral.

Passo 6

Dica prática para prova (como proceder rápido na hora):
  • Passo-a-passo curto para usar em prova:
    1. Propor y=e^{rx}.
    2. Obter a característica r^2+2r-15=0.
    3. Resolver a quadrática (usar fatoração ou fórmula de Bhaskara).
    4. Montar y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x} se as raízes forem reais e distintas.
  • Se lhe derem condições iniciais como y(0) e y'(0), basta substituir x=0 e calcular y'(x) para montar um sistema linear em C_1,C_2 e resolver.

Resposta

y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{-5x}

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