Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação dada é
O que se quer: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação (ou seja, todas as funções
que tornam a expressão acima igual a zero).
Passo 2
Idéia do método (passo didático): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficaz tentar uma solução do tipo exponencial. A razão é que derivadas de exponenciais são múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica. Então testamos uma solução do tipo
onde
é uma constante (ainda desconhecida). Aqui
pode ser real ou complexo; o procedimento a seguir cobre ambos os casos.
Passo 3
Substituindo
na equação e calculando derivadas:
Colocando na equação original:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação algébrica chamada equação característica:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
. Usamos a fórmula quadrática ou fatoramos — primeiro calculo o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da raiz da quadrática:
Portanto as duas raízes são
Passo 6
Interpretação das raízes e forma da solução geral: como as raízes
e
da equação característica são reais e distintas (
e
), a teoria das equações lineares de coeficientes constantes diz que a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinação de constantes depende de condições iniciais, se houver).
Passo 7
Checagem rápida (saber por que funciona): qualquer termo
substituído na equação gera
e similarmente para
. Assim ambos são soluções, e a combinação linear também é solução devido à linearidade da equação.