Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-20 y^{\prime}+64 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação dada é
y^{\prime\prime}-20y^{\prime}+64y=0.
O que se quer: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação (ou seja, todas as funções y que tornam a expressão acima igual a zero).

Passo 2

Idéia do método (passo didático): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficaz tentar uma solução do tipo exponencial. A razão é que derivadas de exponenciais são múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica. Então testamos uma solução do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é uma constante (ainda desconhecida). Aqui r pode ser real ou complexo; o procedimento a seguir cobre ambos os casos.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{rx} na equação e calculando derivadas:
y^{\prime}(x)=r e^{rx},\qquad y^{\prime\prime}(x)=r^{2} e^{rx}.
Colocando na equação original:
r^{2}e^{rx}-20\,r e^{rx}+64 e^{rx}=0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação algébrica chamada equação característica:
r^{2}-20r+64=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática \,r^{2}-20r+64=0. Usamos a fórmula quadrática ou fatoramos — primeiro calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-20)^{2}-4\cdot1\cdot64 = 400-256 = 144.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12.

Passo 5

Aplicando a fórmula da raiz da quadrática:
r=\frac{20\pm12}{2}.
Portanto as duas raízes são
r_{1}=\frac{20+12}{2}= \frac{32}{2}=16, \qquad r_{2}=\frac{20-12}{2}= \frac{8}{2}=4.

Passo 6

Interpretação das raízes e forma da solução geral: como as raízes r_{1} e r_{2} da equação característica são reais e distintas ( 16 e 4), a teoria das equações lineares de coeficientes constantes diz que a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinação de constantes depende de condições iniciais, se houver).

Passo 7

Checagem rápida (saber por que funciona): qualquer termo e^{16x} substituído na equação gera
\bigl(16^{2}-20\cdot16+64\bigr)e^{16x}=(256-320+64)e^{16x}=0\cdot e^{16x}=0,
e similarmente para e^{4x}. Assim ambos são soluções, e a combinação linear também é solução devido à linearidade da equação.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{16x}+C_{2}e^{4x}

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