Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
- O pedido é: obter a solução geral
dessa equação (não há condições iniciais fornecidas).
Passo 2
Escolha de método e ideia principal (sem resolver ainda):
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica direta é procurar soluções do tipo
, onde é um número (podendo ser complexo). - A razão é que derivadas de
são múltiplos de , o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para (a chamada equação característica).
Passo 3
Formação da equação característica:
- Substituindo
na equação, tem-se:
- Substituindo em
e dividindo por (que nunca é zero), obtém-se a equação algébrica
Passo 4
Resolução da equação quadrática:
- Calcular o discriminante:
- Como
, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula quadrática:
- Logo as duas raízes são
e .
Passo 5
Transformar as soluções complexas em solução real geral:
- Cada solução
com pode ser escrita usando . - Pela fórmula de Euler,
e . Portanto combinações lineares reais dessas exponenciais complexas geram as funções reais
que são duas soluções linearmente independentes reais.
- A solução geral real (combinação linear das duas soluções independentes) é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (determinam a solução específica conforme condições iniciais, se houver).
Passo 6
Comentário rápido sobre por que isso funciona e como verificar:
- Se
é raiz da equação característica, então satisfaz a ODE, pois
- A linearidade da equação garante que combinações lineares de soluções também são soluções. No caso de raízes complexas conjugadas, as combinações reais correspondem exatamente às formas com
e apresentadas acima. - Alternativamente, pode-se reescrever a solução em forma de amplitude e fase:
onde
e
.