Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y' + 5y = 0.
  • O pedido é: obter a solução geral y(x) dessa equação (não há condições iniciais fornecidas).

Passo 2

Escolha de método e ideia principal (sem resolver ainda):
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica direta é procurar soluções do tipo y=e^{r x}, onde r é um número (podendo ser complexo).
  • A razão é que derivadas de e^{r x} são múltiplos de e^{r x}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica).

Passo 3

Formação da equação característica:
  • Substituindo y=e^{r x} na equação, tem-se:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^2 e^{r x}.
  • Substituindo em \;y''+4y'+5y=0\; e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero), obtém-se a equação algébrica
r^2 + 4r + 5 = 0.

Passo 4

Resolução da equação quadrática:
  • Calcular o discriminante:
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16 - 20 = -4.
  • Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula quadrática:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i.
  • Logo as duas raízes são r_1 = -2 + i e r_2 = -2 - i.

Passo 5

Transformar as soluções complexas em solução real geral:
  • Cada solução e^{r x} com r=-2\pm i pode ser escrita usando e^{(-2\pm i)x}=e^{-2x}e^{\pm i x}.
  • Pela fórmula de Euler, e^{i x}=\cos x + i\sin x e e^{-i x}=\cos x - i\sin x. Portanto combinações lineares reais dessas exponenciais complexas geram as funções reais
e^{-2x}\cos x\quad\text{e}\quad e^{-2x}\sin x,
que são duas soluções linearmente independentes reais.
  • A solução geral real (combinação linear das duas soluções independentes) é
y(x)=e^{-2x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias (determinam a solução específica conforme condições iniciais, se houver).

Passo 6

Comentário rápido sobre por que isso funciona e como verificar:
  • Se r é raiz da equação característica, então y=e^{r x} satisfaz a ODE, pois
y''+4y'+5y = e^{r x}(r^2+4r+5)=0.
  • A linearidade da equação garante que combinações lineares de soluções também são soluções. No caso de raízes complexas conjugadas, as combinações reais correspondem exatamente às formas com \cos e \sin apresentadas acima.
  • Alternativamente, pode-se reescrever a solução em forma de amplitude e fase:
y(x)=A e^{-2x}\cos(x-\varphi),
onde A=\sqrt{C_1^{2}+C_2^{2}} e \varphi=\operatorname{atan2}(C_2,C_1).

Resposta

y(x)=e^{-2x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big)

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