Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 7y' = 0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função desconhecida é y(x).
  • Estão presentes a derivada primeira y' e a derivada segunda y''.
  • Quer-se a solução geral da equação diferencial (sem condições iniciais), ou seja, encontrar a família de funções y(x) que satisfazem a equação.

Passo 2

Estratégia escolhida: tentar uma solução da forma exponencial. Explico por quê (pedacinho de teoria mastigada): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), as funções exponenciais \;e^{r x}\; são candidatas naturais porque suas derivadas são múltiplos delas mesmas. Se existir uma solução y(x)=e^{r x}, ao substituir na equação obtemos uma condição (um polinômio em r) chamada equação característica. Resolver essa equação característica dá os valores de r que geram soluções, e a combinação linear dessas soluções produz a solução geral. Agora aplico isso passo a passo.

Passo 3

Assuma y(x)=e^{r x}. Então as derivadas são
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{r x} - 7 r e^{r x} = 0.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{2} - 7r = 0.
Resolvendo essa equação polinomial:
r(r-7)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=7.

Passo 4

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias (determinação delas acontece só se houver condições iniciais). Aqui r_{1}=0 e r_{2}=7, portanto
y(x)=C_{1} e^{0\cdot x} + C_{2} e^{7x}.
Simplificando e^{0\cdot x}=1, obtemos
y(x)=C_{1} + C_{2} e^{7x},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 5

Método alternativo (útil para ver a ideia de redução de ordem): note que a equação pode ser vista como uma equação de primeira ordem para v(x)=y'(x). Escrevendo v'=y'', a EDO vira
v' - 7v = 0.
Isto é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente constante. Resolve-se separando variáveis ou reconhecendo a forma exponencial:
v(x)=A e^{7x},
onde A é constante. Integrando para obter y:
y(x)=\int A e^{7x}\,dx = \frac{A}{7} e^{7x} + B.
Renomeando constantes ( C_{2}=\dfrac{A}{7}, C_{1}=B) recupera-se
y(x)=C_{1}+C_{2} e^{7x},
mesma solução anterior. Isso mostra outra forma prática de raciocinar na prova: reduzir a ordem tomando v=y'.

Passo 6

Como dica final, se houvesse condições iniciais do tipo y(x_{0})=y_{0} e y'(x_{0})=y_{1}, encontra-se C_{1} e C_{2} substituindo x=x_{0} nas fórmulas
y(x_{0})=C_{1}+C_{2} e^{7x_{0}}=y_{0}, \qquad y'(x)=7C_{2} e^{7x}\Rightarrow y'(x_{0})=7C_{2} e^{7x_{0}}=y_{1},
e resolvendo esse sistema linear para C_{1},C_{2}. Isso é prático para ver como usar a solução geral na prova.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2} e^{7x}

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