Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A função desconhecida é
. - Estão presentes a derivada primeira
e a derivada segunda . - Quer-se a solução geral da equação diferencial (sem condições iniciais), ou seja, encontrar a família de funções
que satisfazem a equação.
Passo 2
Estratégia escolhida: tentar uma solução da forma exponencial. Explico por quê (pedacinho de teoria mastigada): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), as funções exponenciais
são candidatas naturais porque suas derivadas são múltiplos delas mesmas. Se existir uma solução
, ao substituir na equação obtemos uma condição (um polinômio em
) chamada equação característica. Resolver essa equação característica dá os valores de
que geram soluções, e a combinação linear dessas soluções produz a solução geral. Agora aplico isso passo a passo.
Passo 3
Assuma
. Então as derivadas são
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Resolvendo essa equação polinomial:
Passo 4
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (determinação delas acontece só se houver condições iniciais). Aqui
e
, portanto
Simplificando
, obtemos
com
.
Passo 5
Método alternativo (útil para ver a ideia de redução de ordem): note que a equação pode ser vista como uma equação de primeira ordem para
. Escrevendo
, a EDO vira
Isto é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente constante. Resolve-se separando variáveis ou reconhecendo a forma exponencial:
onde
é constante. Integrando para obter
:
Renomeando constantes (
,
) recupera-se
mesma solução anterior. Isso mostra outra forma prática de raciocinar na prova: reduzir a ordem tomando
.
Passo 6
Como dica final, se houvesse condições iniciais do tipo
e
, encontra-se
e
substituindo
nas fórmulas
e resolvendo esse sistema linear para
. Isso é prático para ver como usar a solução geral na prova.