Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0.
  • Informações dadas: coeficientes constantes da equação linear homogênea (coeficiente de y^{\prime\prime} igual a 1, de y^{\prime} igual a -5 e de y igual a 6).
  • O objetivo é obter a solução geral y(x), que contém duas constantes arbitrárias (pois é uma EDO de segunda ordem).

Passo 2

Ideia básica (motivo da escolha do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma classe muito útil de tentativas de solução são funções exponenciais do tipo y(x)=e^{r x}, porque derivando uma exponencial obtemos a própria exponencial multiplicada por constantes, o que permite transformar a EDO em uma equação algébrica para r. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Substituir y(x)=e^{r x} na equação e derivar:
  • A primeira derivada é y^{\prime}(x)=r e^{r x}.
  • A segunda derivada é y^{\prime\prime}(x)=r^{2} e^{r x}.
Agora substituir essas expressões em
y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0:
r^{2} e^{r x}-5(r e^{r x})+6(e^{r x})=0.

Passo 4

Fatorar e^{r x} (que nunca é zero) e obter a equação característica:
e^{r x}\bigl(r^{2}-5r+6\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-5r+6=0.
Explicação: como e^{r x}\neq 0 para todo x, a igualdade só pode ocorrer se o fator quadrático for zero. Essa polinomial em r é chamada de equação (ou polinômio) característica; suas raízes determinam os expoentes que geram soluções da EDO.

Passo 5

Resolver a equação quadrática característica:
r^{2}-5r+6=0.
Fatorando:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=3.
Comentário: são duas raízes reais distintas. Isso nos diz qual forma a solução geral terá.

Passo 6

Construir a solução geral a partir das raízes reais distintas:
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, duas soluções independentes da EDO são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}.
  • Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral é combinação linear dessas soluções.
Assim, escrevemos
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
e substituindo r_{1}=2, r_{2}=3,
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinariam-se se houvesse condições iniciais).

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x} e substituir na EDO para confirmar que satisfaz.
  • y^{\prime}=2C_{1}e^{2x}+3C_{2}e^{3x}.
  • y^{\prime\prime}=4C_{1}e^{2x}+9C_{2}e^{3x}.
Substituindo em \,y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y\,:
(4C_{1}e^{2x}+9C_{2}e^{3x})-5(2C_{1}e^{2x}+3C_{2}e^{3x})+6(C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}).
Agrupando os termos de e^{2x} e e^{3x}:
e^{2x}\bigl(4C_{1}-10C_{1}+6C_{1}\bigr)+e^{3x}\bigl(9C_{2}-15C_{2}+6C_{2}\bigr) = e^{2x}\cdot 0 + e^{3x}\cdot 0 =0.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação, como esperado.

Passo 8

Observações finais e interpretação intuitiva:
  • As constantes C_{1} e C_{2} são determinadas por condições iniciais (por exemplo, valores de y(0) e y^{\prime}(0)), se fornecidas.
  • A presença de duas constantes é coerente com o fato de ser uma equação de segunda ordem.
  • Cada termo e^{2x} e e^{3x} representa um modo independente de solução; combinando-os obtemos a família completa de soluções.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}

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