Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem
- Informações dadas: coeficientes constantes da equação linear homogênea (coeficiente de
igual a , de igual a e de igual a ). - O objetivo é obter a solução geral
, que contém duas constantes arbitrárias (pois é uma EDO de segunda ordem).
Passo 2
Ideia básica (motivo da escolha do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma classe muito útil de tentativas de solução são funções exponenciais do tipo
, porque derivando uma exponencial obtemos a própria exponencial multiplicada por constantes, o que permite transformar a EDO em uma equação algébrica para
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Substituir
na equação e derivar:
- A primeira derivada é
. - A segunda derivada é
.
Agora substituir essas expressões em
Passo 4
Fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Explicação: como
para todo
, a igualdade só pode ocorrer se o fator quadrático for zero. Essa polinomial em
é chamada de equação (ou polinômio) característica; suas raízes determinam os expoentes que geram soluções da EDO.
Passo 5
Resolver a equação quadrática característica:
Fatorando:
portanto as raízes são
Comentário: são duas raízes reais distintas. Isso nos diz qual forma a solução geral terá.
Passo 6
Construir a solução geral a partir das raízes reais distintas:
- Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , duas soluções independentes da EDO são e . - Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral é combinação linear dessas soluções.
Assim, escrevemos
e substituindo
,
,
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam-se se houvesse condições iniciais).
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar
e substituir na EDO para confirmar que satisfaz.
-
. -
.
Substituindo em
:
Agrupando os termos de
e
:
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação, como esperado.
Passo 8
Observações finais e interpretação intuitiva:
- As constantes
e são determinadas por condições iniciais (por exemplo, valores de e ), se fornecidas. - A presença de duas constantes é coerente com o fato de ser uma equação de segunda ordem.
- Cada termo
e representa um modo independente de solução; combinando-os obtemos a família completa de soluções.