Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'-2y=0.
Informações dadas (apenas listando o que há no enunciado):
A equação envolve y como função de uma variável independente (vamos chamar de x).
Aparecem derivadas até a segunda ordem: y'' é a segunda derivada, y' é a primeira derivada.
A equação é homogênea (lado direito é zero).
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação (ou seja, a família de soluções com duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Escolha de método e razão básica (aula rapidinha): testar soluções do tipo exponencial.
Motivo: quando derivamos uma função do tipo y=e^{rx} obtemos múltiplos de e^{rx}, então isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r, que costuma ser muito mais simples de resolver.
Vamos tentar a ansatz (palavra chique para “suposição”) \;y=e^{rx}, com r constante. Calcule as derivadas:
Substituindo \;y, y', y'' em \;y''-y'-2y=0 obtemos:
r^2 e^{rx} - r e^{rx} - 2 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação característica (uma equação algébrica em r):
r^2 - r - 2 = 0.
Passo 4
Resolver a equação característica:
Fatorando: \;r^2 - r - 2 = (r-2)(r+1)=0.
Assim as raízes são \;r_1=2 e \;r_2=-1.
Explicação curta: como as raízes são reais e distintas, a teoria (ou a prática que se aprende) diz que a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais associadas a cada raiz.
Passo 5
Escrever a solução geral e comentar as constantes:
y(x)=C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x},
onde \;C_1 e \;C_2 são constantes arbitrárias a serem determinadas por condições iniciais, se houver.
Por que essa forma funciona? Porque a equação é linear e homogênea, e se y_1 e y_2 são soluções então qualquer combinação linear a y_1 + b y_2 também é solução (princípio da superposição). Aqui y_1=e^{2x} e y_2=e^{-x} são soluções individuais correspondentes às raízes encontradas.
Passo 6
Verificação rápida (para ter segurança): verificar que y_1=e^{2x} e y_2=e^{-x} realmente satisfazem a equação.
Para y_1=e^{2x}: y_1'=2e^{2x}, y_1''=4e^{2x}. Substituindo:
4e^{2x}-2e^{2x}-2e^{2x}=0.
OK.
Para y_2=e^{-x}: y_2'=-e^{-x}, y_2''=e^{-x}. Substituindo:
e^{-x}-(-e^{-x})-2e^{-x}=e^{-x}+e^{-x}-2e^{-x}=0.
OK.
Passo 7
Independência linear (por que precisamos de duas soluções independentes):
Como \;W(x)=-3e^{x}\neq 0 para todo x, as duas soluções são linearmente independentes e geram a solução geral com duas constantes.
Passo 8
Comentário prático sobre como usar a solução na prova e exemplo rápido:
Na prova, ao ver uma equação do tipo \;y''+ay'+by=0, faça a suposição y=e^{rx}, forme a equação característica r^2+ar+b=0 e resolva para r.
Se as raízes são reais e distintas (r_1\neq r_2), a solução é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Exemplo rápido (aplicação): se fossem dadas condições iniciais \;y(0)=1 e \;y'(0)=0, resolveria