Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'-2y=0.
Informações dadas (apenas listando o que há no enunciado):
  • A equação envolve y como função de uma variável independente (vamos chamar de x).
  • Aparecem derivadas até a segunda ordem: y'' é a segunda derivada, y' é a primeira derivada.
  • A equação é homogênea (lado direito é zero).
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação (ou seja, a família de soluções com duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Escolha de método e razão básica (aula rapidinha): testar soluções do tipo exponencial.
  • Motivo: quando derivamos uma função do tipo y=e^{rx} obtemos múltiplos de e^{rx}, então isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r, que costuma ser muito mais simples de resolver.
  • Vamos tentar a ansatz (palavra chique para “suposição”) \;y=e^{rx}, com r constante. Calcule as derivadas:
y=e^{rx},\qquad y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.
Agora substituímos na equação original.

Passo 3

Substituindo \;y, y', y'' em \;y''-y'-2y=0 obtemos:
r^2 e^{rx} - r e^{rx} - 2 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação caracterí­stica (uma equação algébrica em r):
r^2 - r - 2 = 0.

Passo 4

Resolver a equação caracterí­stica:
  • Fatorando: \;r^2 - r - 2 = (r-2)(r+1)=0.
  • Assim as raízes são \;r_1=2 e \;r_2=-1.
    Explicação curta: como as raízes são reais e distintas, a teoria (ou a prática que se aprende) diz que a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais associadas a cada raiz.

Passo 5

Escrever a solução geral e comentar as constantes:
y(x)=C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x},
onde \;C_1 e \;C_2 são constantes arbitrárias a serem determinadas por condições iniciais, se houver.
Por que essa forma funciona? Porque a equação é linear e homogênea, e se y_1 e y_2 são soluções então qualquer combinação linear a y_1 + b y_2 também é solução (princípio da superposição). Aqui y_1=e^{2x} e y_2=e^{-x} são soluções individuais correspondentes às raízes encontradas.

Passo 6

Verificação rápida (para ter segurança): verificar que y_1=e^{2x} e y_2=e^{-x} realmente satisfazem a equação.
  • Para y_1=e^{2x}: y_1'=2e^{2x}, y_1''=4e^{2x}. Substituindo:
4e^{2x}-2e^{2x}-2e^{2x}=0.
OK.
  • Para y_2=e^{-x}: y_2'=-e^{-x}, y_2''=e^{-x}. Substituindo:
e^{-x}-(-e^{-x})-2e^{-x}=e^{-x}+e^{-x}-2e^{-x}=0.
OK.

Passo 7

Independência linear (por que precisamos de duas soluções independentes):
  • Calcular o Wronskiano de \;y_1,y_2:
W(y_1,y_2)(x)=\det\begin{pmatrix} e^{2x} & e^{-x} \\\\ 2e^{2x} & -e^{-x} \end{pmatrix} = e^{2x}(-e^{-x}) - e^{-x}(2e^{2x}) = -3 e^{x}.
Como \;W(x)=-3e^{x}\neq 0 para todo x, as duas soluções são linearmente independentes e geram a solução geral com duas constantes.

Passo 8

Comentário prático sobre como usar a solução na prova e exemplo rápido:
  • Na prova, ao ver uma equação do tipo \;y''+ay'+by=0, faça a suposição y=e^{rx}, forme a equação caracterí­stica r^2+ar+b=0 e resolva para r.
  • Se as raízes são reais e distintas ( r_1\neq r_2), a solução é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
    Exemplo rápido (aplicação): se fossem dadas condições iniciais \;y(0)=1 e \;y'(0)=0, resolveria
y(0)=C_1 + C_2 = 1,
y'(x)=2C_1 e^{2x} - C_2 e^{-x}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=2C_1 - C_2 = 0,
e resolveria o sistema linear para C_1,C_2. (Aqui só exemplifiquei o procedimento; não era pedido no enunciado.)

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}

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