Em cada um dos problemas, resolva o problema de valor inicial dado:
(a) x^prime=(cc 5 & -1 3 & 1 ) x, x(0)=binom2-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial x'=Ax com
5 & -13 & 1 e x(0)=binom2-1. O conteúdo envolve sistemas lineares homogêneos e o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det5-lambda & -13 & 1-lambda=(5-lambda)(1-lambda)+3=lambda^2-6lambda+8
As raízes são lambda1=2 e lambda2=4.

Passo 3

Agora determinamos os autovetores:
Para lambda=2 resolvemos
(A-2I)v=3 & -13 & -1v=0 implies v^(1)=binom13
Para lambda=4 temos
(A-4I)v=1 & -13 & -3v=0 implies v^(2)=binom11

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos exponenciais:
x(t)=C1e^2tbinom13+C2e^4tbinom11

Passo 5

Aplicamos a condição inicial x(0)=C1binom13+C2binom11=binom2-1, gerando o sistema
C1+C2=2 3C1+C2=-1
Resolvendo, obtemos C1=-tfrac32 e C2=tfrac72.

Resposta

x(t)=-32,e^2tbinom13+72,e^4tbinom11

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