Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase, quando possível:
x^prime=(ll4 & -2 8 & -4) x

Passo 1

A gente tem o sistema linear homogêneo x'=Ax com
A=4 & -28 & -4
O objetivo é achar a solução geral usando autovalores, autovetores e, como o caso vai dar degenerado, também a cadeia de Jordan, e em seguida esboçar o plano de fase.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det4-lambda & -28 & -4-lambda=(4-lambda)(-4-lambda)-(-2)cdot8
Calculando,
(4-lambda)(-4-lambda)+16=-(16-lambda^2)+16=lambda^2,
logo lambda^2=0 e o único autovalor é lambda=0 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Como lambda=0 tem multiplicidade 2 mas o posto de A é 1 (as linhas são proporcionais), só temos um autovetor. Resolvendo
A v=0 Longrightarrow 4x-2y=08x-4y=0 Rightarrow y=2x,
podemos escolher v=12. Para completar a cadeia de Jordan, buscamos um vetor generalizado w tal que
A w=v
Se w=(a,b)^T, então
A w=4a-2b8a-4b=12
implica 4a-2b=1, ou seja 2a-b=tfrac12. Tomando por exemplo a=0, vem b=-tfrac12, então
w=0-tfrac12

Passo 4

Na base de cadeia v,w, a forma de Jordan para A com valor próprio zero dá solução geral
x(t)=C1,v+C2,(t,v+w),
ou seja em coordenadas padrões
x(t)=C112+C2l(t12+0-tfrac12r),
com constantes C1,C2inR.

Passo 5

Para esboçar o plano de fase, note que todas as trajetórias são retas paralelas ao autovetor v=(1,2). Como lambda=0 e há termo t, para C2ne0 cada linha é percorrida em sentido cres­cente de t quando C2>0 (vai para infinito) e decrescente quando C2<0. A origem é um nó degenerado (ponto de sela degenerado com, lambda=0), instável, e o feixe de retas tem inclinação y=2x.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C112+C2l(t12+0-tfrac12r),
com constantes C1,C2. No plano de fase, as trajetórias são retas paralelas ao autovetor (1,2)^T, todas saindo da vizinhança da origem (instáveis), formando um nó degenerado.

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