Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase, quando possível:
Passo 1
A gente tem o sistema linear homogêneo
com
O objetivo é achar a solução geral usando autovalores, autovetores e, como o caso vai dar degenerado, também a cadeia de Jordan, e em seguida esboçar o plano de fase.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
Calculando,
logo
e o único autovalor é
de multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Como
tem multiplicidade 2 mas o posto de
é 1 (as linhas são proporcionais), só temos um autovetor. Resolvendo
podemos escolher
. Para completar a cadeia de Jordan, buscamos um vetor generalizado
tal que
Se
, então
implica
, ou seja
. Tomando por exemplo
, vem
, então
Passo 4
Na base de cadeia
, a forma de Jordan para
com valor próprio zero dá solução geral
ou seja em coordenadas padrões
com constantes
.
Passo 5
Para esboçar o plano de fase, note que todas as trajetórias são retas paralelas ao autovetor
. Como
e há termo
, para
cada linha é percorrida em sentido crescente de
quando
(vai para infinito) e decrescente quando
. A origem é um nó degenerado (ponto de sela degenerado com,
), instável, e o feixe de retas tem inclinação
.
Resposta
A solução geral é
com constantes